中考攻略专题4：韦达定理应用探讨.doc

《中考攻略专题4：韦达定理应用探讨.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、专题4：韦达定理应用探讨韦达定理说的是：设一元二次方程有二实数根，则。这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系。其逆命题：如果满足，那么是一元二次方程的两个根也成立。韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。锦元数学工作室将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积；②求对称代数式的值；③构造一元二次方程；④求方程中待定系数的值；⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。一、不解方程求方程的两根和与两根

2、积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。典型例题：例1：若x1、x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是【】A．－2B．2C．3D．1例2：若x1、x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1·x2的值是【】 A.4. B.3. C.－4. D.－3.例3：已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【】A．－2B．0C．1D．2练习题：1.已知一元二次方程的两根为x1、x2，则x1+x2=。2.已知一元二次方程的两个根为x1、x2，则x1+x2的值是【】A．－12B．12C．－7D．73.已知一元二

3、次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1·x2=　　．4.若关于的方程的一个根为，则另一个根为【】A．B．C．1D．35.若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+4=0的两根，则x1+x2与x1•x2的值分别是【】A、﹣，﹣2B、﹣，2C、，2D、，﹣2二、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变（），则称这个代数式为完全对称式，如等。扩展后，可以视中与对称。典型例题：例1：已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为【】　

4、A．﹣3B．3C．﹣6D．6例2：已知m、n是方程x2＋2x＋1＝0的两根，则代数式的值为【】A．9B．±3C．3D．5例3：设m、n是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则m2＋4m＋n＝．例4：设x1、x2是一元二次方程x2＋5x－3=0的两个实根，且，则a=.练习题：1.已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则=．2.已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，那么的值为.3.设a，b是方程x2＋x－2013=0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为4.若方程的两实根为、，求的值．5.若、是一元二次方程的两根，则的值为【】A、2010B、2011C、D、

5、6.若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22=　　．三、构造一元二次方程：如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。扩展后字母可为代数式。典型例题：例1：设，且1－ab2≠0，则=.例2：如果方程的两个根是，那么请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于的方程求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知满足,求；（3）已知满足求正数的最小值。例3：某市政府为落实“保障性住房政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用

6、于保障性住房建设．（1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；（2）设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx12﹣4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．练习题：1.请你写出一个二次项系数为1，两实数根之和为3的一元二次方程：.2.请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且其两根互为倒数.四、求方程中待定系数的值：已知方程两根满足某种关系，则可以利用韦达定理确定方程中待定字母系数的值。典型例题：例1：如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【】A．3B．﹣3C．13

7、D．﹣13例2：已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为【】　　A．b=﹣1，c=2　　B．b=1，c=﹣2　　C．b=1，c=2　　D．b=﹣1，c=﹣2例3：已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是【】A．a=﹣3，b=1B．a=3，b=1C．，b=﹣1D．，b=1例4：若关于x的方程的两根互为倒数，则a=.