函数凹凸性判别法与指导应用.doc

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1、函数凹凸性判别法与应用作者：祝红丽指导老师：邢抱花摘要函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并结合相关例题做了较详细的论述.关键词凹凸性导数不等式应用1引言函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识

2、更加精确.以函数在某区间上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量的稳定增加，当函数的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数的增量越来越小时，函数图形是凸的，当函数的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分析.作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛.本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方

3、向，从而引出函数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导函数判别函数的凹凸性，及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其它方法不可替代的.利用函

4、数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化.2凹凸函数及拐点的定义0YXY0我们已经熟悉函数和的图象.x它们的不同之处是：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方.我们把具有前一种特性的曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数；后一种曲线称为凸的，相应的函数成为凸函数.函数凹凸性的分析定义

5、形式较多，下面给出函数凹凸性定义的更一般的形式.2.1函数凹凸性的定义定义设函数在区间上连续，若对上的任意两点，和任意实数,总有:,则称为上的凹函数.反之，如果总有:,则称为上的凸函数.特别地，当=时，满足的函数为凹函数，满足的函数为凸函数.如果定义中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凹函数和严格凸函数.2.2凹函数与凸函数的几何意义定义中凹函数与凸函数的图象如图、图.Y0x0Yx图1图2凹函数（凸函数）的几何意义：连接曲线上任意两点的弦总位于对应曲线的上方（下方）.2.3拐点的定义设曲线在

6、点处有穿过曲线的切线.且在切点近旁，曲线的切线的两侧分别是严格凹和严格凸的，这时称点为曲线的拐点.由定义可见，对于具有凹凸性的函数而言，拐点正是函数的凹凸性发生改变的那一点，即拐点的两侧邻域有着互异的严格凹凸性.如下图中的点.xYM.··.·0严格地说，拐点都是平面光滑曲线（即切线连续变动的曲线）弯曲方向发生改变的转折点，拐点的几何特征是该点的切线不是在曲线的一侧“托着曲线”而是切线在切点处把曲线一分为二，分别在切线的两侧.易知，有正弦曲线的图象可知有拐点，为整数.2.4拐点的判别法若在处连续，在两侧

7、反号，则是曲线的拐点.若，，则是的拐点.例题1求下列函数的拐点；.解，，当时，；当时，，又,所以点是函数的拐点.，，，，，所以点是函数的拐点.注意：函数的拐点只是表示在该点的两侧函数具有不同的严格凹凸性，而不能只依靠判断二阶导数是否为零来确定函数的拐点.对于二阶导数不存在的点，检查在左右两侧邻近的符号，那么当两侧邻近的符号相反时，点是曲线的拐点，当两侧的符号相同时，点不是曲线的拐点函数的拐点.因此函数的拐点与二次导数是否存在没有必然的联系.例如：在时的情况.易知，在处的二阶导数不存在，但是当时，，当时

8、，，所以是的一个拐点.3函数凹凸性的判别法观察函数图象，我们很容易得出结论：凹函数的一阶导数是不断变大的，而凸函数的一阶导数则恰恰相反.这是我们通过观察几何图形进行直观的感知得到的结论，但是人的观察不可避免的存在着一定的局限性，只有通过严密的证明得到的结论才能使人信服.迄今为止，判别函数的凹凸性已经有很多的方法.3.1定义法判别函数的凹凸性用定义法去判别函数的凹凸性是最基本的判定方法，也是其它判定方法的基础.所以对定义的理解和掌握是至关重要的.例题2，均