现代通信与香农三大定理.doc

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1、现代通信与香农三大定理：伟章学号：4摘要：当我们提起信息论，就不得不把香农和信息论联系在一起，因为正是香农为通信理论的发展所做出的划时代贡献，宣告了一门崭新的学科——信息论的诞生。从此，在香农信息论的指导下，为了提高通信系统信息传输的有效性和可靠性，人们在信源编码和信道编码两个领域进行了卓有成效的研究，取得了丰硕的成果。其实，信息论是人们在长期通信实践活动中，由通信技术与概率论、随机过程、数理统计等学科相互结合而逐步发展起来的一门新兴交叉学科。关键词：信息论基础现代通信系统香农三大定理上个世纪四十年代，半导体三极管还未发明，电子计算机也尚在襁褓之中。但是通信技术已经有了相当

2、的发展。从十九世纪中叶，电报就已经很普遍了。电报所用的摩斯码（MorseCode），就是通信技术的一项杰作。摩斯码用点和线（不同长度的电脉冲）来代表字母，而用空格来代表字母的边界。但是每个字母的码不是一样长的。常用的字母E只有一个点。而不常用的Z有两划两点。这样，在传送英语时，平均每个字母的码数就减少了。事实上，摩斯码与现代理论指导下的编码相比，传送速度只差15%。这在一百五十多年前，是相当了不起了。在二次世界大战时，雷达和无线电在军事上广泛应用。无线电受各种噪声的干扰很厉害，这也给通讯技术提出了新的课题。各种不同的调制方式也纷纷问世。于是就出现了这样一个问题：给定信道条件

3、，有没有最好的调制方式，来达到最高的传送速率？“传输速率是波特率与每波特所含比特数的乘积。波特率受频宽的限制，而每波特所含比特数受噪声的限制。”前一个限制，由那奎斯特（HarryNyquist）在1928年漂亮地解决了。而后一个问题则更复杂。1928年，哈特利（R.V.L.Hartley）首先提出了信息量的概念，并指出编码（如摩斯码）在提高传送速度中的重要作用。但是他未能完整定量地解决这个问题。二战期间，维纳（NorbertWiener）发展了在接收器上对付噪声的最优方法。但是传输速率的上限还是没有进展。在这种情况下，香农（ClaudeEShannon）在1948年发表了《

4、通信的一个数学理论》(C.E.Shannon,AMathematicalTheoryofCommunication”,TheBellSystemTechnicalJournal,Vol.27,pp.379-423,1948cm.bell-labs./cm/ms/what/shannonday/shannon1948.pdf)，完整地解决了通讯速度上限的问题。“信息论”（InformationScience）从此诞生。要建立信息理论，首先要能够度量信息。信息是由信号传播的。但是信息与信号有本质的区别。所以如何度量一个信号源的信息量，就不是简单的问题。从直觉上说，如果一个信号源

5、发出不变的符号值（比如总是1），它是没有信息量的，因为它没有告诉别人任何东西。而且如果信号源发出的符号值是变化的但是可以预计的（比如圆周率的数字序列），那也是没有信息量的，因为我不需要接受任何东西，就可以把这些符号值重复出来。而且，即使信号源发出的符号不是完全可确定的，它的信息量也和“确定”的程度有关。例如，如果一个地方90%的时候是晴天，气象报告就没有多大用处。而如果50%的时候是晴天其余时候下雨，人们就需要气象报告了。从这点出发，香农就把信息量与信号源的不确定性，也就是各个可能的符号值的几率分布联系起来。他从直观上给出了信息量需要满足的几个简单的数学性质（如连续性，单调

6、性等），而给出了一个唯一可能的表达形式。那么这样定义的信息量与我们通常所说的数据量，也就是需要多少比特来传送数据，有什么关系呢？（比特就是二进制数据的位数）。为此，我们来看看一个含有固定符号数的序列（也就是信号或码字）。由于每个符号值的出现是随机的，这样的序列就有很多可能性。显然，每个可能的符号在序列中出现次数，对于所有可能序列的平均值正比于符号出现的几率。我们把每个符号出现次数“正好”等于其次数平均值的序列叫做“典型序列”，而其他的就叫作“非典型序列”。而数学上可以证明，当N趋于无穷大时，“非典型序列”出现的几率趋于零。也就是说，我们只要注意“典型序列”就行了。而典型序列

7、的个数，就是它们出现概率的倒数（因为总概率为1）。而码字所携带的数据量，就是它的个数以2为底的对数。所以，这样的分析就得出了序列所含的数据量。除以序列的长度，就得到每个符号所含的数据量。而这个结果恰好就等于上面所说的信息量！至此，香农开创性地引入了“信息量”的概念，从而把传送信息所需要的比特数与信号源本身的统计特性联系起来。这个工作的意义甚至超越了通信领域，而成为信息储存，数据压缩等技术的基础。解决了信号源的数据量问题后，我们就可以来看信道了。信道（channel）的作用是把信号从一地传到另一地。在香农以前，那奎斯