稳定性定义与稳定性条件资料课件.ppt

《稳定性定义与稳定性条件资料课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第4章控制系统稳定性分析4.1稳定性定义与稳定性条件当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内，系统的响应可能出现下列情况：1)系统的自由响应是有界的；2)系统的自由响应是无界的；3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐进稳定的。显然，如果系统不稳定，则系统的响应是无界的，系统的输出将逐渐增加直到损坏系统，或者进入振荡状态。因此，系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量。4.1.1范数的概念1

2、.向量的范数定义：n维向量空间的范数定义为:(4.1)2.矩阵的范数定义：mxn矩阵A的范数定义为:(4.2)(4.3)4.1.2平衡状态系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化的，这样的状态称为系统的平衡状态。根据平衡状态的定义可知,连续系统的平衡状态是满足平衡方程即的系统状态。离散系统的平衡状态，是对所有的k，都满足平衡方程的系统状态。首先讨论线性系统的平衡状态。由于平衡状态为，因此，当A为非奇异矩阵时，系统只有一个平衡状态；当A为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可能有一个平衡状

3、态，也可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以由平衡方程解得。下面举例说明。例4.1求下列非线性系统的平衡状态解由平衡状态定义，平衡状态应满足:得非线性系统有三个平衡状态：,,.4.1.3李雅普诺夫稳定性定义1.稳定定义:如果对于任意给定的每个实数,都对应存在着另一实数,使得从满足不等式的任意初态出发的系统响应,在所有的时间内都满足则称系统的平衡状态是稳定的.若与的选取无关,则称平衡状态是一致稳定的.2.渐近稳定定义：若平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，并且当时，,即，则称平衡状态是渐进稳定的。3.大范围（渐近）稳定定义：如果对任意大的，系统总是稳定

4、的，则称系统是大范围（渐进）稳定的。如果系统总是渐进稳定的，则称系统是大范围渐进稳定的。4.不稳定定义：如果对于某一实数，不论取多小，由内出发的轨迹，至少有一条轨迹越出，则称平衡状态为不稳定.上述定义对于离散系统也是适用的，只是将连续时间t理解为离散时间k。注意:稳定性讨论的是系统没有输入（包括参考输入和扰动）作用或者输入作用消失以后的自由运动状态。所以，通常通过分析系统的零输入响应，或者脉冲响应来分析系统的稳定性。4.1.4线性定常连续系统的稳定性条件1.SISO线性定常连续系统稳定的条件设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为:(4.4)则系

5、统的特征方程为:(4.5)设特征方程(4.5)有k个实根，r对共轭复根，则系统的脉冲响应为:(4.6)从上式可以看出：1）若，均为负实部，则有，因此，当所有特征根的实部都为负时，系统是稳定的；2）若，中有一个或者几个为正，则有，因此，当特征根中有一个或者几个为正实部时，系统是不稳定的；3）若中有一个或者几个为零,而其它，均为负，则有为常数。若中有一个或者几个为零，而其它、均为负，则y(t)的稳态分量则为正弦函数。因此，当特征根中有一个或者几个为零，而其它极点均为负实部时，系统是一种临界情况，称为临界稳定的。临界稳定在李氏稳定性意义下是稳定的，但在工

6、程上是不允许系统工作在临界稳定状态的，所以，临界稳定在工程上是不稳定的。结论：线性定常连续系统稳定的充分必要条件是，系统的全部特征根或闭环极点都具有负实部，或者说都位于复平面左半部。2.MIMO线性定常连续系统稳定的条件描述MIMO线性定常连续系统的状态方程为：（4.7）设A有相异特征值，则存在非奇异线性变换，使为对角矩阵，即:非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为:由于，，所以，原状态方程的零输入解为:(4.8)可见(4.9)将上式展开,的每个元素都是的线性组合，所以可写成矩阵多项式:所以(4.10)从上式可见，当A的所有特征值位于复平面左半平面

7、，即，，则对任意x(0)，有，系统渐进稳定。只要有一个特征值的实部大于零，对于，，系统不稳定。当有特征值的实部等于零，而其它特征值的实部小于零，则随着时间的增加，x(t)趋于常值或者为正弦波，系统是李雅普诺夫意义下稳定的，或者称为临界稳定的。当A具有重特征值时,x(t)含有诸项，稳定性结论同上。结论：MIMO线性定常连续系统稳定的充分必要条件是，系统矩阵A的全部特征值具有负实部，或者说都位于复平面左半部。4.1.5线性定常离散系统的稳定性1.SISO线性定常离散系统稳定性条件设线性定常离散系统的脉冲传递函数为，则系统输出的Z变换为：(4.11)现在

8、讨论系统在单位脉冲序列离散信(R(z)=1)作用下的输出响应序列。（1）有个互异的单极点，。Y(z)可以展成:相应的脉冲响