高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：解答题规范专练(一)　函数与导数.pdf

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1、解答题规范专练(一)　函数与导数1．(2015·洛阳统考)已知函数f(x)＝ex＋ax2－e2x.(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)若x>0时，总有f(x)>－e2x，求实数a的取值范围．12．已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0，设两曲2线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b；(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．83．(2014·辽宁高考)

2、已知函数f(x)＝(cosx－x)(π＋2x)－(sinx＋1)，g(x)＝3(x－π)cosx－32x4(1＋sinx)·ln3－.(π)π证明：(1)存在唯一x0∈0，，使f(x0)＝0；(2)π(2)存在唯一x1∈，π，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<π.(2)答案1．解：(1)由f′(x)＝ex＋2ax－e2得：y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率k＝4a＝0，则a＝0.此时f(x)＝ex－e2x，f′(x)＝ex－e2.由f′(x)＝0，得x＝2.当x∈(－∞

3、，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以函数f(x)的单调增区间是(2，＋∞)，单调减区间是(－∞，2)．ex(2)由f(x)>－e2x得：a>－.x2exex2－x设g(x)＝－，x>0，则g′(x)＝.x2x3∴当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)在(0,2)上单调递增；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)在(2，＋∞)上单调递减．e2∴g(x)≤g(2)＝－.4e2因此，a的取值范围为－，＋∞.(4)2．解

4、：(1)设曲线y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，3a2∵f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，x∴依题意得Error!即Error!3a2由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)，x015则b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna.22(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)1＝x2＋2ax－3a2lnx－b(x>0)，23a2x－ax＋3a则F′(x)＝x＋2a－＝(x>0)，xx由F′(x)＝0得x＝a或x＝－3a(舍去)．当x变

5、化时，F′(x)，F(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，＋∞)F′(x)－0＋F(x)极小值结合(1)可知函数F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝f(a)－g(a)＝0.故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0，即当x>0时，f(x)≥g(x)．π3．证明：(1)当x∈0，时，(2)2f′(x)＝－(1＋sinx)(π＋2x)－2x－cosx<0，3π则函数f(x)在0，上为减函数，(2)8π16又f(0)＝π－>0，f＝－π2－<0，3(2)3π所以存在唯一x0∈0，，使f(x0)

6、＝0.(2)3x－πcosx2xπ(2)考虑函数h(x)＝－4ln3－，x∈，π.1＋sinx(π)[2]ππ令t＝π－x，则x∈，π时，t∈0，.[2][2]3tcost2设u(t)＝h(π－t)＝－4ln1＋t，1＋sint(π)3ft则u′(t)＝.π＋2t1＋sint由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)>0，π当t∈x0，时，u′(t)<0.(2)在(0，x0)上u(t)是增函数，又u(0)＝0，从而当t∈(0，x0]时，u(t)>0，所以u(t)在(0，x0]上无

7、零点．πππ在x0，上u(t)为减函数，由u(x0)>0，u＝－4ln2<0，知存在唯一t1∈x0，，(2)(2)(2)使u(t1)＝0.π所以存在唯一的t1∈0，，使u(t1)＝0.(2)π因此存在唯一的x1＝π－t1∈，π，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.(2)π因为当x∈，π时，1＋sinx>0，(2)故g(x)＝(1＋sinx)h(x)与h(x)有相同的零点，π所以存在唯一的x1∈，π，使g(x1)＝0.(2)因x1＝π－t1，t1>x0，所以x0＋x1<π.