2012年全国部分省市数列试题

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1、1．（2012•北京文科）已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（　　）A．a1+a3≥2a2　　B．　　C．若a1=a3，则a1=a2　　D．若a3＞a1，则a4＞a2分析：a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立；，所以；若a1=a3，则a1=a1q2，从而可知a1=a2或a1=﹣a2；若a3＞a1，则a1q2＞a1，而a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故可得结论解：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；，

2、∴，故B正确；若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D不正确故选B．2．（2012•北京文科）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2=　_________　，Sn=　_________　．解：根据{an}为等差数列，S2=a1+a2=a3=+a2；∴d=a3﹣a2=∴a2=+=1Sn==故答案为：1，3．（2012•福建理科）等差数列{an

3、}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（　　）A．1　　B．2　　C．3　　D．4解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B4．（2012•福建理科）数列{an}的通项公式an=ncos+1，前n项和为Sn，则S2012=　______．解：因为cos=0，﹣1，0，1，0，﹣1，0，1…；∴ncos=0，﹣2，0，4，0，﹣6，0，8…；∴ncos的每四项和为2；∴数列{an}的每四项和为：2+4=6．而2012÷4=5

4、03；∴S2012=503×6=3018．故答案为3018．5．（2012•广东理科）已知递增的等差数列{an}满足a1=1，，则an=　_________　．解：由于等差数列{an}满足a1=1，，令公差为d所以1+2d=（1+d）2﹣4，解得d=±2又递增的等差数列{an}，可得d=2所以an=1+2（n﹣1）=2n﹣1故答案为2n﹣16．（2012•广东理科）设数列{an}的前n项和为Sn，满足，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．

5、解：（1）在2Sn=an+1﹣2n+1+1中，令n=1得：2S1=a2﹣22+1，令n=2得：2S2=a3﹣23+1，解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13又2（a2+5）=a1+a3解得a1=1（2）由2Sn=an+1﹣2n+1+1，得an+2=3an+1+2n+1，又a1=1，a2=5也满足a2=3a1+21，所以an+1=3an+2n对n∈N*成立∴an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，∴an+2n=3n，∴an=3n﹣2n；（3）（法一）∵an=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1

6、+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1∴≤，∴+++…+≤1+++…+=＜；（法二）∵an+1=3n+1﹣2n+1＞2×3n﹣2n+1=2an，∴＜•，，当n≥2时，＜•，＜•，，…＜•，累乘得：＜•，∴+++…+≤1++×+…+×＜＜．7．（2012•广东文科）若等比数列{an}满足，则=　_________　．解：∵等比数列{an}满足=，则，故答案为．8．（2012•广东文科）设数列{an}前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通

7、项公式．解：（1）当n=1时，T1=2S1﹣1因为T1=S1=a1，所以a1=2a1﹣1，求得a1=1（2）当n≥2时，所以Sn=2Sn﹣1+2n﹣1①所以Sn+1=2Sn+2n+1②②﹣①得an+1=2an+2所以an+1+2=2（an+2），即（n≥2）求得a1+2=3，a2+2=6，则所以{an+2}是以3为首项，2为公比的等比数列所以所以，n∈N*．9．（2012•湖北理科）已知等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{an}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{

8、

9、an

10、}的前n项和．解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d由题意可得，解得或由等差数列的通项公式可得，an=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或an=﹣4+3（n﹣1）=3n﹣7（II）当an=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比当an=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足