武汉大学2008-2009第二学期国软.doc

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1、武汉大学2008—2009学年第二学期《高等数学A2》（国软、土建）试题（A卷）一、（30分）试解下列各题：1、（6分）判别级数的敛散性.若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？2、（6分）求曲面在点处的切平面方程。3、（6分）已知级数在处收敛，试讨论此级数在处的敛散性。4、（6分）计算，其中由所围成的区域。5、（6分）求解微分方程满足的特解。二、（10分）设方程确定，且为可微函数，证明：。三、（12分）已知函数，其中具有二阶连续导数，求四、（10分）试将函数展成的幂级数。五、（10分）设（1）求在点处的梯度及方向导数的最大

2、值；（2）问：在哪些点的梯度垂直于轴。六、（10分）计算，其中是的外侧。七、（10分）设函数具有连续的二阶导数，并使曲线积分与路径无关，求函数。八、（8分）将正数分为正数之和,使得最大(其中为已知正数)。武汉大学2006—2007学年第二学期《高等数学A2》（国软、土建）试题A参考解答一、（30分）试解下列各题：1、（6分）判别级数的敛散性.若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：，由比值判别法知原级数的绝对值级数收敛，故原级数绝对收敛.2、（6分）求曲面在点处的切平面方程。解设故曲面在点处的切平面的法向量为：所以切平面

3、方程为：3、（6分）已知级数在处收敛，试讨论此级数在处的敛散性。解由阿贝尔定理知，此级数在即时绝对收敛，故此级数在处绝对收敛。4、（6分）计算，其中由所围成的区域。解：由对称性，5、（6分）求解微分方程满足的特解。解：由，得，即而，故二、（10分）设方程确定，且为可微函数，证明：解所以故三、（12分）已知函数，其中具有二阶连续导数，求的值。解四、（10分）试将函数展成的幂级数．解：设，由于因此，五、（10分）设（1）求在点处的梯度及方向导数的最大值；（2）问：在哪些点的梯度垂直于轴。解（1）由故所以在点处方向导数的最

4、大值为：（2）由，而轴，即，由此得：所以平面上的点处的梯度垂直于轴。六、（10分）计算，其中是的外侧。解：作辅助曲面上侧，则由Gauss公式和三重积分对称性得：=七、（10分）设函数具有连续的二阶导数，并使曲线积分与路径无关，求函数。解由题意得：即特征方程，特征根对应齐次方程的通解为：又因为是特征根。故其特解可设为：代入方程并整理得：即故所求函数为：八、（8分）将正数分为正数之和,使得最大。(其中为已知正数)解法一化为无条件极值求解,即求的极值。令即解之得，再由求得。当，或或时,均为0,不可能为最大,故将分成的三个正

5、数为，，。解法二利用拉格朗日乘数法求解.作函数令及将(1)，(2)，(3)中之移至等式右端,记为然后由得得并将其代入(4),从而得到所求三个正数为，，。解法三因为,故当最大时也最大。利用拉格朗日乘数法,作函数令及（4）由(1),(2)得由（2），（3）得并代入(4),从而得，，