2020高考数学评分细则教学分析.pdf

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2020高考数学评分细则淘师港工作室一、数学阅卷流程二、阅卷基本准则高考数学阅卷对知识点和步骤的把握,公正客观,本着给分有理扣分有据的原则,寻找得分点,否则写再多也是徒劳的.但是也并非完全无情,比如有少数考生答题错位,会被要求作为异常试卷提交,由专家组特殊处理,而不是直接判了零分等.为此,总结如下解题中需要把握的准则:1.阅卷速度以秒计,规范答题少丢分高考阅卷评分标准非常细,按步骤、得分点给分,评阅分步骤、采“点”给分.关键步骤,有则 给分,无则没分.所以考场答题应尽量按得分点、步骤规范书写.阅卷中强调关注结果,过程可采用不同的方法阐述.2.不求巧妙用通法,通性通法要强化高考评分细则只对主要解题方法,也是最基本的方法,给出详细得分标准,所以用常规方法往往与参考答案一致,比较容易抓住得分点.阅卷中把握见点得分,踩点得分,上下不牵连的原则.3.干净整洁保得分,简明扼要是关键若书写整洁,表达清楚,一定会得到合理或偏高的分数,若不规范可能就会吃亏.若写错需改正,只需划去,不要乱涂乱划,否则易丢分.4.狠抓基础保成绩,分步解决克难题(1)基础题争取得满分.涉及的定理、公式要准确,数学语言要规范,仔细计算,争取前3个解答题及选考不丢分.(2)压轴题争取多得分.第(1)问一般难度不大,要保证得分,第(2)问若不会,也要根据条件或第(1)问的结论推出一些结论,可能就是得分点.三、题目类型展示题型一三角形解答题(2017全国1,理17)(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△2aABC的面积为.3sinA(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.(一)评分标准展示——看细节规范解答评分细则和解答指导给出三角形面积公式即可得1分,1解法一(1)由题设得acsin2体现选择哪个面积公式的重要性!学会“瞻前顾后”!2aB=,1分3sinA1a即csinB=.23sinA给出正弦定理的内容可得1分 ca由正弦定理:=代入整理得sinCsinA体现“边化角”的解题策略!1sinAsinCsinB=.1分23sinA整理化简求得结果.2故sinBsinC=.2分3学会观察条件的结构特点,进而(2)由题设及(1)得拼凑成两角和的余弦公式1cosBcosC-sinBsinC=-,1分2公式的准确性很重要!1即cos(B+C)=-.1分此处公式若写成cos(B-C)后面就没有分数了.2“给值求角“问题要注意角的范围2ππ所以B+C=,故A=.1分33求得角A后再次选择面积公式,进而找到bc,公式正确,计算错误扣1分.21a由题设得bcsinA=,即bc=8.2分写出余弦定理给1分23sinA222公式正确,计算错误扣1分.由余弦定理a=b+c-2bccosA,1分22利用完全平方式过渡,才有整体思想求解b+c;得b+c-bc=9,2最后下结论,不写扣1分.即(b+c)-3bc=9,得b+c=33.1分故△ABC的周长为3+33.1分(二)一题多解鉴赏——扩思路211a1a(1)解法一由S△ABC=acsinB,得acsinB=,即csinB=.223sinA23sinA21ba8R根据正弦定理,得c·=(R为△ABC外接圆的半径),即bc=.22Ra33·2R2再由正弦定理,得sinBsinC=.3 211(2)解法二由(1)得sinBsinC=,cosBcosC=,cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC=-,3622ππ22又00.∴cosA=,A∈(0,π).∴A=.23221+4-b1+4-c(2)∵∠ADB+∠ADC=π,∴cos∠ADC+cos∠ADB=0.∴+=0.∴4422b+c=10.22222又b+c-2bccosA=a,b+c-bc=4,∴bc=6.11333∴S=bcsinA=×6×=.2222题型二数列解答题 (2016全国,文17)(本小题满分12分)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足1b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.3(1)求{an}的通项公式;(2)求{bn}的前n项和.(一)评分标准展示——看细节规范解答评分细则和解答指导解法一(1)由已1知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2,2分3必须展示代入的过程,仅说明由题意可得,缺乏a1b2+b2=b1的不予给分.所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数此处说明了数列为等差数列以及首项,公差.揣摩如何让我们的答题语言更简列,2分洁.通项公式为an=a1+(n-1)d此处写出等差数列的通项公式给1分.原始公式很重要!写为{an}=3n-1不给=3n-1.2分分!(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn,1分此处化简需要借助第(1)问的结论,如果第(1)问猜出{an}的通项公式,也给全分,应用跳步解答的应试技巧.b得bnn+1=.1分3此处说明了数列为等比数列以及首项,公比.n1b(1-q)b-bq因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.1数列求和公式也可以写成:Sn=1或Sn=1n只要写对求和公式,不管31-q1-q分前面是否做对均可得2分.彰显公式的重要性.记{bn}的前n项和为Sn,答案不能出现整个大分式,否则扣1分.化简后格式不要求,只要能和最后答案n互化都是对的.11×[1-(3)]Sn=,2分11-3 31则Sn=-.1分n-122×3(二)一题多解鉴赏——扩思路解法二nb-b1b-b(1)由ann+112nbn+1+bn+1=nbn,则an=,当n=1时,b1=1,b2=,a1=,∴a1=2.b3bn+12∵{an}是公差为3的等差数列,∴an=3n-1.(2)∵an=3n-1和anb+b=nbn,∴3nb=nbn.n+1n+1n+1b11∴n+1=.∴{bn}是首项为1,公比q=的等比数列.b33n2n-1111设{bn}前n项和为Sn,则Sn=1++()+…+(),①3332n-1n111113Sn=3+(3)+…+(3)+(3),②n21由①-②知Sn=1-(),33nn31313-1∴Sn=-=.2[1-(3)]=22×3n-12×3n-1(三)阅卷老师提醒——明原因(四)1.牢记等差、等比数列的定义:在判断数列为等差或等比数列时,应根据定义进行判断,所b1以熟练掌握定义是解决问题的关键,如本题第(2)问,要根据定义判断n+1=.b3n2.注意利用第(1)问的结果:在题设条件下,如果第(1)问的结果第(2)问能用得上,可以直接用,有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决,如本题即是在第(1)问的基础上求得bn+1与bn的关系.3.写全得分关键:写清解题过程的关键点,有则给分,无则没有分,同时解题过程中计算准 1确,是得分的根本保证.如本题第(1)问要写出a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,才能得出a1,并指出数列3b{an}的性质,否则不能得全分.第(2)问中一定要写出求b=n的步骤并要指明{bn}的性质;求n+13Sn时,必须代入求和公式而不能直接写出结果,否则要扣分.(四)新题好题演练——成习惯n+1(2018河北石家庄一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=2+m(m∈R).(1)求数列{an}的通项公式;1(2)若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.(2n+1)log(a·a)2nn+1n+1nn解(1)方法一:由2Sn=2+m(m∈R),得2Sn-1=2+m(m∈R),n≥2.所以2an=2Sn-2Sn-1=2,n-1即an=2(n≥2),所以a2=2,q=2.mn-1又a1=S1=2+,又{an}是等比数列,所以a1·q=a2,解得m=-2,所以通项公式为an=2.2mS=2+,12n+1m方法二:由2Sn=2+m(m∈R),得S=4+,2{2mS=8+(m∈R).32从而有a2=S2-S1=2,a3=S3-S2=4,a所以等比数列公比q=3=2,首项an-11=1,因此通项公式为an=2.a2n-1n(2)由(1)可得log2(an·an+1)=log2(2·2)=2n-1,1111∴bn==(-).(2n+1)(2n-1)22n-12n+1∴Tn=b1+b2+…+bn111111n=2(1-3+3-5+…+2n-1-2n+1)=2n+1.题型三概率与统计解答题(2017全国2,文19)(本小题满分12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法 的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:旧养殖法新养殖法(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;箱产量<50箱产量≥50kgkg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较. 22n(ad-bc)附:,K=.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(一)评分标准展示——看细节规范解答评分细则和解答指导解(1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为此处要注意把原始数据代入公式要充分完整展示,否则一旦最后结果错误,全部没分.公式(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62.3分正确,计算错扣1分.因此,事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图列联表箱产量箱产量<50kg≥50kg独立性检验要先列出2×2列联表,数据错一个旧养6238扣1分,直到扣完为止.殖法新养3466殖法此处计算要准确,掌握化简技巧,需运算两遍进2行复查,注意保留小数点后三位.计算K的值与结论各给1分.2分22200×(62×66-34×38)K=≈15.705.2分100×100×96×104由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.1分(3)箱产量的频率分布直方图表明:新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg到55kg之间,旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45kg到50kg之间,1分 且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,1分根据平均数(中位数)和方差进行判断,需要准确因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖说明产量较高且稳定两个角度,缺少一个角度法.2分扣1分.(二)阅卷老师提醒——明原因1.正确阅读理解,弄清题意:与概率统计有关的应用问题经常以实际生活为背景,且常考常新,而解决问题的关键是理解题意,弄清本质,将实际问题转化为数学问题求解.2.对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件,这些也可类比集合进行理解,具体应用时,可把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪几个试验结果,从而断定所给事件的关系.3.用频率分布直方图解决相关问题时,应正确理解图表中各个量的意义,识图掌握信息是解决该类问题的关键.4.某些数据的变动对中位数可能没有影响.中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势.平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述其波动大小.5.独立性检验的注意事项2(1)在列联表中注意事件的对应及相关值的确定,不可混淆.K的观测值k的计算公式很复杂,在解题中易混淆一些数据的意义,代入公式时出错,而导致整个计算结果出错.(2)对判断结果进行描述时,注意对象的选取要准确无误,应是对假设结论进行的含概率的判断,而非其他.(三)新题好题演练——成习惯(2018四川凉山诊断性检测)为了解男性家长和女性家长对高中学生成人礼仪式的接受程度,某中学团委以问卷形式调查了50位家长,得到如下统计表:男性家长女性家长合计赞成121426 无所谓18624合计302050(1)据此样本,能否有99%的把握认为“接受程度”与家长性别有关?说明理由;(2)学校决定从男性家长中按分层抽样方法选出5人参加今年的高中学生成人礼仪式,并从中选2人交流发言,求发言人中至多一人持“赞成”态度的概率.参考数据0.012P(K≥k)0.0503.846.63k1522n(ad-bc)参考公式K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)解(1)由题:a=12,b=14,c=18,d=6,2250(12×6-14×18)∴K=≈4.327<6.635,所以,没有99%的把握认为“接受程度”与家长26×24×30×20性别有关.5(2)选出的5人中持“赞成”态度的人数为12×=2.持“无所谓”态度的人数为3.设持“赞成”30 态度的人分别为a1,a2,持“无所谓”态度的人分别为b1,b2,b3.基本事件总数为(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)共10种.其中至多一人9持“赞成”态度的有9种,∴p=.或:其中两人持“赞同”态度的人有1种,故至多一人持“赞成”1019态度的事件概率p=1-=1010题型四立体几何解答题(2017全国3,文19)(本小题满分12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:AC⊥BD;(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.(一)评分标准展示——看细节规范解答评分细则和解答指导必须展示作辅助线的过程,仅在图中体现辅助线但过程中无体现的减1分.此处说明了线面垂直的判定的条件.要注意强调“DO∩BO=O”,否则减1分.(1)证明取AC的中点O,连接DO,BO.因为AD=CD,所以AC⊥DO.2分又由于△ABC是正三角形,必须展示作辅助线的过程,仅在图中体现辅助线但过程中无所以AC⊥BO.过程的减1分.又因为DO∩BO=O,所以AC⊥平面DOB,故AC⊥BD.2分 (2)解法一连接EO,由(1)及题设知∠ADC=90°,所以DO=AO.2分此处写出直角三角形的勾股定理及其逆定理的应用.要注意222在Rt△AOB中,BO+AO=AB,等量关系的转化!222222又AB=BD,所以BO+DO=BO+AO=AB=BD,故∠DOB=90°.1分1由题设知△AEC为直角三角形,所以EO=AC.21又△ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=BD.1分2此处写出点到平面的距离的合理转化,不写清点的位置关系故E为BD的中点,则E到平面ABC的距离为D到平面ABC和转化过程要减2分.1的距离的.1分21四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,1分2即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.2分(二)一题多解鉴赏——扩思路1(2)解法二可证DO⊥OB,EO=BD,所以E为BD的中点,四面体ABCE与四面体ACDE2的体积比为1∶1.解法三设AB=BD=2,DE=x,可证△ACE为等腰直角三角形,则AD=AE=2.22222+2-232+(2-x)-23在△ABD与△ABE中,cos∠DBA==,cos∠DBA==,2×2×242×2×(2-x)4所以x=1或x=0(舍).故E是BD的中点,四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1∶1. (三)阅卷老师提醒——明原因1.证明线面垂直时,不要忽视“面内两条直线为相交直线”这一条件,如第(1)问中,学生易忽视“DO∩BO=O”,导致条件不全而减分;2.求四面体的体积时,要注意“等体积法”的应用,即合理转化四面体的顶点和底面,目的是底面积和顶点到底面的距离容易求得;3.注意利用第(1)问的结果:在题设条件下,如果第(1)问的结果第(2)问能用得上,可以直接用,有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决,如本题中,由(1)及题设知∠ADC=90°.4.要注意书写过程规范,计算结果正确.书写规范是计算正确的前提,在高考这一特定的环境下,学生更要保持规范书写,力争一次成功,但部分学生因平时习惯,解答过程中书写混乱,导致失误过多.(四)新题好题演练——成习惯(2018江西新余二模)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,平面AA1B1B⊥平面ABC,D是AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)若∠A1AB=∠ACB=60°,AB=BB1,AC=2,BC=1,求三棱锥C1-ABD的体积.(1)证法一连接AB1交A1B于点O,则O为AB1的中点,∵D是AC的中点,∴OD∥B1C.又OD⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD.(2)解法一∵AC=2,BC=1,∠ACB=60°, 222∴AB=AC+BC-2AC·BC·cos∠ACB=3.∴AB=3.取AB中点M,连接A1M,∵AB=BB1=AA1,∠A1AB=60°,∴△ABA1为等边三角形.3∴A1M⊥AB,且A1M=.2又∵平面AA1B1B⊥平面ABC,平面AA1B1B∩平面ABC=AB,A1M⊂平面AA1B1B,∴A1M⊥平面ABC.13∵S△ABD=S△ABC=,2413∴V=V=S△ABD·A1M=.C-ABDA-ABD1138(1)证法二取A1C1中点D1,连接B1D1,CD1,DD1,11∵A1D1=A1C1,CD=AC,A1C1AC,∴A1D1CD.22∴四边形A1DCD1为平行四边形.∴CD1∥A1D.又A1D⊂平面A1BD,CD1⊄平面A1BD,∴CD1∥平面A1BD.∵BB1AA1DD1,∴四边形D1DBB1为平行四边形.∴B1D1∥BD.又BD⊂平面A1BD,B1D1⊄平面A1BD,∴B1D1∥平面A1BD. 又CD1∩B1D1=D1,∴平面B1CD1∥平面A1BD.又B1C⊂平面B1CD1,∴B1C∥平面A1BD.(2)解法二∵AC=2,BC=1,∠ACB=60°,222∴AB=AC+BC-2AC·BC·cos∠ACB=3.222∴AB=3.∴AC=AB+BC.∴BC⊥AB.又∵平面AA1B1B⊥平面ABC,平面AA1B1B∩平面ABC=AB,∴BC⊥平面AA1B1B.∵∠A1AB=60°,AB=BB1=AA1,∴AA1=3.133∴S=AB·AA1·sin∠A1AB=.△AAB124∵D是AC中点,1113∴V=V=V=V=×S·BC=.C-ABDA-ABDD-AABC-AAB△AAB111212318题型五解析几何解答题2x(2017全国1,文20)(本小题满分12分)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之4和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.(一)评分标准展示——看细节规范解答评分细则和解答指导(1)解设A(x1,y1),B(x2,y2),则 22xxx121≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,2分44y-yx+x于是直线AB的斜率k=12=12=1.2分x-x412此处根据条件进行翻译,需要设出A,B的坐标以及它们之间的关系,缺少其中条件都会扣1分.2xx(2)解法一由y=,得y'=.1分42此处需要写出斜率的公式,体现原始公式重要性,没有斜率公式扣1分,x代入前面条件进行化简,得值.设M(x33,y3),由题设知=1,解得x3=2,2此处需要对函数进行求导,具体位置不做要求,没有则扣1分.于是M(2,1).1分此处设出M点,并求出坐标,若没有过程不给分.设直线AB的方程为y=x+m,此处设出直线方程,写出MN的长度,需要过程,如若没有不给分.故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.1分2x2将y=x+m代入y=得x-4x-4m=0.4x的一元二次方程的形式不唯一,只要没有错误均给分.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,2分x1,2=2±2m+1.此处表示出AB的长度,要有弦长公式,没有公式不给分.从而|AB|=2|x1-x2|=42(m+1).1分此处代入|AB|=2|MN|等式中,求得m的值,若没有不得分.由题设知|AB|=2|MN|,最后一步要写出直线方程,一般式或斜截式均给分.即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.1分所以直线AB的方程为y=x+7.1分(二)一题多解鉴赏——扩思路22(2)解法二设切线方程为y=x+b0,与曲线C:x=4y联立,得x-4x-4b0=0.则M点的横坐标为A,B的横坐标的平均数,进而M(2,1).22将坐标系按向量(2,1)平移,则抛物线方程变为C':(x'+2)=4(y'+1),即x'+4x'-4y'=0.设新坐标系下直线A'B'的方程为m(x'-y')=1,2则化齐次联立可得x'+(4x'-4y')·m(x'-y')=0.由于此时A'M'⊥B'M',因此1+4m+4m=0. 1解得m=-,直线A'B':x'-y'+8=0.8回到原坐标系,直线AB方程为(x-2)-(y-1)+8=0.则x-y+7=0.22xxxx解法三设M(0的导函数y'=知C在M处的切线斜率为k=0=1,所以x0=2,x0,4),由y=422故M(2,1).因为AM⊥BM,易知AM,BM的斜率存在且不为0,因此kAM·kBM=-1,即22xx1-12-14411·=(x1+2)(x2+2)=[x1x2+2(x1+x2)+4]=-1.(*)x-2x-24161212设直线AB的方程为y=x+b,与抛物线联立得x-x-b=0,4x+x=4,12所以Δ=1+b>0,故b>-1,由根与系数的关系知{xx=-4b,121代入(*)式得(-4b+12)=-1,解得b=7,符合题意,因此直线AB的方程为y=x+7.16(三)阅卷老师提醒——明原因(1)审题忙中出错丢分.有的考生对审题重视不够,匆匆一看便急于下笔,以至于题目的条2x件和要求没有看清.如将条件C:y=看成焦点在x轴上从而计算出错.4(2)书写不规范、笔误丢分.考生字迹偏小、不清、书写不工整、版面布局不合理,会导致阅卷教师不好辨认从而极可能导致考生得分点被遗漏,造成丢分.甚至有的考生出现严重的笔误,如第(1)问中,将x1+x2=4误写成y1+y2=4,虽然后面的过程正确,也会扣掉1分.(3)“会而不对”丢分.许多考生忽视将解题策略转化为得分点,因此,卷面上大量出现“会而不对”“对而不全”的情况.由于第(2)问的解答步骤较多,很多考生分不清主要步骤和次要步骤,一些必不可少的步骤是不能省略的,导致该写的得分点没有写上,阅卷中得不到相应的分数.(4)策略性错误丢分.许多考生解题方向上出现偏差,造成思路受阻或解题长度过大.如第(2)问中,直接设出C在M处的切线方程,思路过于曲折、存在多余的思维回路,最终只能猜出答案或者复杂计算得出答案,费时费事.(5)思维严谨性不够丢分.第(2)问中表现突出,如设直线没有对参数进行讨论或说明;做出结果的考生,只关注于结果而忽略了结果的完整性,缺少“当Δ=16(m+1)>0,即m>-1 时,x1,2=2±2m+1.”这一条件的说明等.(6)计算技能不过关丢分.圆锥曲线问题的解答过程一般来说对考生的计算能力要求都比较高,阅卷中发现考生计算能力差处处都有表现,如联立方程、韦达定理的代入化简等环节出错,导致最终半途而废.(四)新题好题演练——成习惯2(2018湖南益阳调研)已知抛物线C1的方程为x=2py(p>0),过点M(a,-2p)(a为常数)作抛物线C1的两条切线,切点分别为A,B.(1)过焦点且在x轴上截距为2的直线l与抛物线C1交于Q,N两点,Q,N两点在x轴上的射影分别为Q',N',且|Q'N'|=25,求抛物线C1的方程;(2)设直线AM,BM的斜率分别为k1,k2.求证:k1·k2为定值.p(1)解因为抛物线C1的焦点坐标是(0,2),2x=2py,xyx2y所以过焦点且在x轴上截距为2的直线方程是+=1,即+=1.联立x2y消2p2p{+=1,2p222p2去y并整理,得x+x-p=0,22p22设点Q(xQ,yQ),N(xN,yN),则xQ+xN=-,xQxN=-p.则|Q'N'|=|xQ-xN|=(x+x)-4xxQNQN2224p2p2=(-)-4×(-p)=+4p=25,242解得p=2.所以抛物线C1的方程为x=4y.(2)证明设点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>0,x2<0).22xx依题意,由x=2py(p>0),得y=,则y'=.2ppx所以切线MA的方程是y-y1=1(x-x1),p2xx即y=1x-1.p2p 2xx又点M(a,-2p)在直线MA上,于是有-2p=1×a-1,p2p2222即x-2ax1-4p=0.同理,有x-2ax2-4p=0,1222因此,x1,x2是方程x-2ax-4p=0的两根,2则x2x1x2x1x2-4p1+x2=2a,x1x2=-4p.所以k1·k2=·===-4.故k1·k2为定值得证.22pppp题型六函数与导数解答题2x(2017全国2,文21)(本小题满分12分)设函数f(x)=(1-x)e.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.(一)评分标准展示——看细节规范解答评分细则和解答指导2x(1)解f'(x)=(1-2x-x)e.1分求导结果必须化简正确,否则后面的运算全为无用功.令f'(x)=0,得x=-1-2或x=-1+2.当x∈(-∞,-1-2)时,f'(x)<0;当x∈(-1-2,-1+2)时,f'(x)>0;2分当x∈(-1+2,+∞)时,f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,-1-2),(-1+2,+∞)上单调递减,在(-1-2,-1+2)上单调递增.1分x(2)解法一f(x)=(1+x)(1-x)e.x当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)e,此处由导数的符号变化得到函数的单调区间,一定要注意单调区间之间不能用“∪”连接,否则减1分.x则h'(x)=-xe<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)上单调递减,而h(0)=1,故h(x)≤1,2分所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.xx当00(x>0),所以g(x)在此处利用不等式的特点,合理构造函数,这是解决此x[0,+∞)上单调递增,而g(0)=0,故e≥x+1.2分题的关键步骤. 2当0(1-x)(1+x),225-4a-1(1-x)(1+x)-ax-1=x(1-a-x-x),取x0=,则x0∈(0,1),2分22(1-x0)(1+x0)-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.1分5-12当a≤0时,取x0=,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)·(1+x0)=1≥ax0+1.2利用分类讨论思想解决问题时,要首先明确分类的依据和标准,且讨论不重不漏.综上所述,a的取值范围是[1,+∞).1分此处要结合前面讨论的过程,给出a的取值范围,否则减1分.(二)一题多解鉴赏——扩思路2x解法二设g(x)=(x-1)e+ax+1,x≥0,则g(x)≥0恒成立.2xg'(x)=(x+2x-1)e+a.22g″(x)=(x+4x+1)·e>0,g'(x)在区间[0,+∞)内单调递增.当a≥1时,g'(x)≥g'(0)=-1+a>0,此时g(x)在区间[0,+∞)内单调递增,g(x)≥g(x)=0,符合题意.当a<1时,g'(0)=-1+a<0,2当x≥1时,x+2x-1≥2,取x1=ln(e+a),则g'(x1)≥2(e+|a|)+a=2e+|a|+(|a|+a)>0,故存在x0>0,使得g'(x0)=0,且当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,此时g(x)单调递减,g(x)0,使得x∈[0,x0]时,g'(x)≤0.(若不然,即任意x0>0,x∈[0,x0]时g'(x)>0,则x∈(0,x0),g(x)>0时,不符合题意).从而有g'(0)=1-a≤0,即a≥1.2x下面证明a=1时,g(x)=(1-x)e-x-1≤0(x≥0)恒成立.由于2x2xg'(x)=(-x-2x+1)e-1,g″(x)=(-x-4x-1)e<0,知g'(x)在[0,+∞)内单调递减,且g'(0)=0,故g'(x)≤0,[g(x)]max=g(0)=0≤0,故a的取值范围是[1,+∞).(也可直接证明a≥1时,g(x)=f(x)-ax-1≤0成立)(三)阅卷老师提醒——明原因1.利用导数研究函数或不等式问题时,正确求导是第一步,也是关键一步,而学生往往开始求导就出现错误,后面的运算全部变成了无用功;2.分类讨论解决问题时,首先要明确分类的依据和标准;分类讨论思想是高中数学中的一种重要思想,也是学生的难点,关键要搞清“为什么要讨论?”“如何去讨论”,如本题中,需要讨论a与0,1的大小关系.3.要注意书写过程规范,计算结果正确.书写规范是计算正确的前提,在高考这一特定的环境下,学生更要保持规范书写,力争一次成功,但部分学生因平时习惯,解答过程中书写混乱,导致失误过多.(四)新题好题演练——成习惯a(2018河北保定一模)已知函数f(x)=x+.x(1)判断函数f(x)的单调性;(2)设函数g(x)=lnx+1,证明:当x∈(0,+∞),且a>0时,f(x)>g(x).2ax-a(1)解因为f'(x)=1-=(x≠0),22xx①若a≤0,f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,0),(0,+∞)为增函数;2②若a>0,则f'(x)>0⇒x-a>0⇒x<-a或x>a,2f'(x)<0⇒x-a<0⇒-a0),h'(x)=1--=,22xxxx2设p(x)=x-x-a=0的正根为x0,2所以x-x0-a=0,0∵p(1)=1-1-a=-a<0,∴x0>1.h(x)在(0,x0)上为减函数,在(x0,+∞)上为增函数,ah(x)min=h(x0)=x0+-lnx0-1x02x-x=x0+00-lnx0-1x0=2x0-lnx0-2,令F(x)=2x-lnx-2(x>1),12x-1F'(x)=2-=>0恒成立,xx所以F(x)在(1,+∞)上为增函数,又∵F(1)=2-0-2=0,∴F(x)>0,即h(x)min>0,所以,当x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x).题型七参数方程与极坐标解答题 (2017全国3,文22)(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为x=-2+m,x=2+t,{(t为参数),直线l2的参数方程为m(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,Py=kt{y=k的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)-2=0,M为l3与C的交点,求M的极径.(一)评分标准展示——看细节规范解答评分细则和解答指导解法一(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程必须展示普通方程,我们需要通过普通方程消去参数得到曲线C的方程,得出普通方程1进行消参是必经之路.l2:y=(x+2).2分ky=k(x-2),设P(x,y),由题设得11分联立所得的普通方程消去参数即可得到曲线C的方程,这是水到渠成的方法,求解轨迹{y=(x+2).k方程一定要验证所得的结果是否有多余的点,本题中反比例函数不存在y轴上的点.22消去k得x-y=4(y≠0).所以C的普通方程为利用(1)的结论很重要,我们需要把(1)中求得的普通方程转化为极坐标方程.22x-y=4(y≠0).2分(2)C的极坐标方程为222ρ(cosθ-sinθ)=4(0<θ<2π,θ≠π).1分同角三角函数基本关系体现在本题中,彰显极坐标方程与三角函数的紧密有机联系.222ρ(cosθ-sinθ)=4,联立{ρ(cosθ+sinθ)-2=0答案要求求解极径,考查学生对概念的把握.一定要准确理解极径的概念,结合三角函数得cosθ-sinθ=2(cosθ+sinθ).的性质求得结果.1故tanθ=-,从而3 2921cosθ=,sinθ=.2分10102222代入ρ(cosθ-sinθ)=4得ρ=5,所以交点M的极径为5.2分(二)一题多解鉴赏——扩思路1解法二(1)消去参数t得l1的普通方程y=k(x-2),消去参数m得l2的普通方程y=(x+2).ky=k(x-2),x+22x+2由x+2得k(x-2)=,即k=.{y=,kx-2k2x+222222将k=代入y=k(x-2),化简可得C的普通方程为x-y=4(y≠0).x-22(2)l3的普通方程为x+y=2.故x,,y成等差数列.2222222322令x=+d,y=-d,代入C的方程有(+d)-(-d)=4,解得d=2.因此x=,y=-,2222222232-2因此M的极径为ρ=()+()=5.22(三)阅卷老师提醒——明原因1.基本的定义、公式,方法要掌握牢固:本题第(1)问考查消参求轨迹方程的问题,属于基本问题,第二问求解点在极坐标系下的极径,属于基础概念的考查,但是要求对基本的概念和公式能够熟练理解和掌握.2.注意利用第(1)问的结果:在题设条件下,如果第(1)问的结果第(2)问能用得上,可以直接用,有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决,如本题即是在第(1)问的基础上进行计算求解极径问题.3.写全得分关键:写清解题过程的关键点,有则给分,无则没有分,同时解题过程中计算准 确,是得分的根本保证.如本题第(1)问要写出直角坐标方程,注意所得的轨迹方程不包括y轴上的点.第(2)问中方程的思想很重要,联立极坐标方程求解极径、极角体现出方程思想的无处不在.(四)新题好题演练——成习惯(2018江西新余二模)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,3x=-t,2圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ,直线l的参数方程为(t为参数),直线l和圆C交于A,B{ty=2+2两点.(1)求圆心的极坐标;(2)直线l与x轴的交点为P,求|PA|+|PB|.22222解(1)由ρ=4sinθ,得ρ=4ρsinθ,故得x+y=4y,所以圆C的普通方程为x+y-4y=0.π所以圆心坐标为(0,2),圆心的极坐标为(2,2).3x=-t,2(2)方法一:把{ty=2+23化为普通方程得y=-x+2,33x=23-t',222令y=0得点P坐标为P(23,0),故直线的参数方程可化为代入x+y-4y=0{t'y=,2 2整理得t'-8t'+12=0,所以点A,B对应的参数分别为t1'=2,t2'=6,所以|PA|+|PB|=|t1'|+|t2'|=6+2=8.3x=-t,23方法二:把化为普通方程得y=-x+2,{t3y=2+2令y=0得点P坐标为P(23,0),又因为直线l恰好经过圆C的圆心,22故|PA|+|PB|=2|PC|=2(23-0)+(0-2)=8.题型八不等式选讲解答题(2017全国3,文23)(本小题满分10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;2(2)若不等式f(x)≥x-x+m的解集非空,求m的取值范围.(一)评分标准展示——看细节规范解答评分细则和解答指导-3,x<-1,必须展示去掉绝对值符号之后的分段函数解析式,我们将函数的解析式写成解法一(1)f(x)=2x-1,-1≤x≤2,2分{分段函数的形式是处理该类问题的最常规做法.3,x>2.当x<-1时,f(x)≥1无解;当-1≤x≤2时,由f(x)≥1,得2x-1≥1,需要由分类讨论的过程得出不等式的解集.不等式的解集需要写成区间或者集合解得1≤x≤2;的形式,不能写成x≥1.当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.2分需要分离参数将原问题进行转化.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.1分2(2)由f(x)≥x-x+m得转化之后讨论函数的最小值,即可求得m的取值范围,注意对不等式进行恒等变m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.1分形,结合二次函数的性质进行讨论,可以进行配方,也可以通过求解函数在对称轴处的函数值来求解最值.而22|x+1|-|x-2|-x+x≤|x|+1+|x|-2-x+|x|=-2355(|x|-2)+4≤4,2分需要规范给出实数m的取值范围,注意表达形式和区间端点的开闭情况,错误结果扣1分. 325且当x=时,|x+1|-|x-2|-x+x=.245故m的取值范围为(-∞,4].2分(二)一题多解鉴赏——扩思路解法二(1)|x+1|-|x-2|≥1,有|x+1|≥|x-2|+1得x+1≥|x-2|+1,即|x-2|≤x,①或x+1≤-|x-2|-1,即|x-2|≤-x-2.②解①式有-x≤x-2≤x得x≥1,解②式有x+2≤x-2≤-x-2,x无解.所以不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.-3,x<-1,2211(2)易知f(x)={2x-1,-1≤x≤2,设g(x)=x-x+m=(x-)+m-,则g'(x)=2x-1.243,x>2.画出函数g(x)及f(x)的图象,观察图象可知直线y=2x-1为抛物线y=g(x)的切线时, 在切线上方有g(x)>f(x).设切点为(x0,y0),则由2x0-1=2得3325x0=,y0=2×-1=2,m=y0-x+x0=.022425所以不等式f(x)≥x-x+m的解集非空时,m的取值范围是(-∞,].4(三)阅卷老师提醒——明原因1.基本的定义、公式、方法要掌握牢固:本题第(1)问考查绝对值不等式的解法,属于基本问题,第(2)问求解参数的取值范围,要求同学们能够结合恒成立的条件进行灵活变形处理.2.注意利用第(1)问的结果:在题设条件下,如果第(1)问的结果第(2)问能用得上,可以直接用,有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决,如本题即是将原问题转化为求解最值的问题来确定参数的取值范围.3.写全得分关键:写清解题过程的关键点,有则给分,无则没有分,同时解题过程中计算准确,是得分的根本保证.如本题第(1)问要写出分段函数的形式,分段求解不等式的解集.第(2)问中转化的思想很重要,将原问题转化为求解最值的问题即可,转化的思想是高中数学的重要数学思想之一.(四)新题好题演练——成习惯(2018湖北荆州质检)设不等式||x+1|-|x-1||<2的解集为A.(1)求集合A;2(2)若∀m∈A,不等式mx-2x+1-m<0恒成立,求实数x的取值范围.2(x≥1),解(1)令f(x)=|x+1|-|x-1|={2x(-1