三角函数有理式积分.doc

《三角函数有理式积分.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§6–6三角函数有理式积分基础知识导学1．定义三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数，记作：R(sinx,cosx)2．R(sinx,cosx)dx的求法（1）利用三角恒等式和变量代换，把R(sinx,cosx)dx化为熟悉的积分；（2）利用下面三种函数代换，把三角函数原积分转化为新变量t的有理函数积分，而有理函数的积分已经解决，所以三角有理式的积分也就解决了。三种变量代换①对R(sinx,cosx)dx，利用万能公式，即令t=tg，则sinx=，cosx=，dx=dt②对R(sinx)cosxdx或R(cosx)sinxdx令t=sinx或t=

2、cosx③对R(sin2x,cos2x)dx或R(tgx)dx令t=tgx重点难点突破1．在计算三角函数有理式的积分时，要注意分析被积函数的特点，充分利用三角函数恒等式，达到简化计算的目的。2．下面的变量代换是根据上述三种变量代换和三角有理式的具体形式得到的一些代换，在计算中常常用到。①形如sinmxcosnxdx的积分如果m，n中至少有一个为奇数时，若m为奇数，则令cosx=t；若n为奇数，则令sinx=t如果m，n皆为偶数，则作变换sin2x=,cos2x=②形如tgmxdx,和ctgmxdx的积分，其中m为正整数利用tg2x=sec2x－1，ctg2x=csc2x－

3、1降低正切或余切函数的幂指数。③形如tgmxsecnxdx,和ctgmxcscnxdx，其中n为正偶数利用sec2x=1+tg2x，csc2x=1+ctg2x降低正切或余切函数的幂指数。④形如sinmxcosnxdx，cosmxcosnxdx，sinmxsinnxdx的积分利用积化和差公式sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α－β)]cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α－β)]sinαsinβ=[cos(α－β)－cos(α+β)]3．利用万能公式，总可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但是对待具体问题要具体分析被积函数的特点，不要千篇一律

4、地都用万能公式，因为对于具体的三角函数有理式的积分而言，万能代换不一定是最好的方法。解题方法指导例1求不定积分解法一：凑微分法===ln

5、sinx+cosx

6、+C解法二：利用三角恒等式====ln

7、1+sin2x

8、+C解法三：配方化简====ln

9、tg2x+sec2x

10、+ln

11、cos2x

12、+C解法四：万能代换令t=tg，则sinx=，cosx=，dx=dt，代入并化简得：====ln

13、1+2t－t2

14、－ln

15、1+t2

16、+C=ln+C=ln

17、sinx+cosx

18、+C学习方法建议1．本章的重点是原函数与不定积分的概念、基本积分公式、换元积分法与分部积分法．难点是第一换元积分法

19、，既基本又灵活，必须多下工夫，除了熟记积分基本公式外，还要熟记一些常用的微分关系式．如，，，,等等．2．不定积分计算要根据被积函数的特征灵活运用积分方法．在具体的问题中，常常是各种方法综合使用针对不同的问题采用不同的积分方法．如，先换元，令，再用分部积分法即可，=，也可多次使用分部积分公式．3．求不定积分比求导数要难得多，尽管有一些规律可循，但在具体应用时，却十分灵活，因此应通过多做习题来积累经验，熟悉技巧，才能熟练掌握．