题型专项(七) 二次函数与几何图形的综合题.doc

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1、题型专项(七)　二次函数与几何图形的综合二次函数与几何图形的综合题是四川中考压轴题的必考题型，常结合三角形、四边形、圆等考查二次函数或一次函数的解析式，点的坐标，综合探究图形的基本性质，线段、面积的数量关系及最值问题，与图形变换等有关的综合题，存在三角形为直角三角形或等腰三角形，存在平行四边形(含特殊平行四边形)，存在三角形相似等．这类压轴题的综合性强，难度较大，复习时应总结解题通法，加强练习，突破高分瓶颈．　　　如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(

2、1，0)两点，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；【思路点拨】　∵抛物线y＝ax2＋bx＋2的解析式中只有两个未知数，故只需将抛物线上两个点的坐标代入，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式．【自主解答】　解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋2过点A(－3，0)，B(1，0)，∴解得∴二次函数的解析式为y＝－x2－x＋2.,　　　　1．确定二次函数的解析式一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a，b，c(a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数的解

3、析式需要已知三个独立的条件：(1)已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式，即y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)已知抛物线的顶点坐标和另外一点的坐标时，选用顶点式，即y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)已知抛物线与x轴的两个交点(或横坐标x1，x2)时，选用交点式，即y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．用待定系数法求二次函数解析式的步骤：(1)设二次函数的解析式；(2)根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；(3)解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式．　(2)过点P作PM

4、⊥x轴于点M，交AC于点Q，求线段PQ的最大值；【思路点拨】　设出P点的坐标，并用含有字母的代数式表示出PQ的长度，结合字母的取值范围，求出PQ的最大值．【自主解答】　解：由题知，C(0，2)，A(－3，0)，∴可求直线AC的解析式为y＝x＋2，设点P坐标为(m，－m2－m＋2)．∵PQ⊥x轴且点Q在直线y＝x＋2上，∴Q(m，m＋2)．∴PQ＝(－m2－m＋2)－(m＋2)＝－m2－2m＝－(m＋)2＋.∴当m＝－时，PQ取得最大值，最大值为.1．二次函数压轴题中设点的坐标时要根据点的位置特征，即若点

5、在抛物线上，该点坐标可设为(x，ax2＋bx＋c)；若点在对称轴上，该点坐标可设为(－，y)；若点在直线上，该点坐标可设为(x，kx＋b)，再结合具体情境去求解．2．探究线段的最值问题：解决此类问题首先设出关键点的坐标(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，进而得到线段长的最大值或最小值．3．探究线段的数量关系(如分类训练P41T7(3))：此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对

6、这种情况，应先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，进而求出未知数的值．(3)在(2)的条件下，过点P作PH⊥AC于点H，求△PHQ周长的最大值；【思路点拨】　在Rt△PHQ中，将PH，QH的长用PQ的长表示出来，从而要求△PHQ周长的最大值即求PQ长的最大值．【自主解答】　∵AO＝3，CO＝2，∴AC＝.∵PH⊥AC，PQ∥y轴，∴∠QPH＝∠CAO.∴sin∠QPH＝sin∠CAO＝＝

7、，cos∠QPH＝cos∠CAO＝＝，∴C△PHQ＝PQ＋QH＋PH＝PQ＋PQ·sin∠QPH＋PQ·cos∠QPH＝(1＋sin∠QPH＋cos∠QPH)·PQ　　由(2)知，PQ＝－m2－2m，则C△PHQ＝(1＋sin∠QPH＋cos∠QPH)·PQ＝(1＋＋)·(－m2－2m)＝·＝－(m＋)2＋.∴存在点P(－，)，使△PHQ的周长最大，且最大值为.　　　1．探究三角形周长的最值问题：求三角形周长的最值问题，一般所求三角形有一条边的长度是定值，即可转化为求线段和的最小值问题．对于求直线同侧两

8、点到直线上一点的线段和最小值问题，首先要想到“最短路径问题”，一般是作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另外一点与直线的交点，即为使得线段和最小的点，最后计算即可．2．探究线段差的最值问题(如分类训练P42T8(3))：对于线段差的最值问题，一般是放在三角形中，根据三角形的三边关系来求解，分为三点共线和不共线两种情况．,　　(4)是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；【思路点拨】　要使△ACP的