数学建模 对偶问题和灵敏度分析.doc

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1、对偶问题例题1：某养鸡场所用的混合饲料由n种天然饲料配合而成。要求在这批配合饲料中必须含有m种不同的营养成分，且第i种营养成分的含量不低于bi。已知第i种营养成分在每单位第j种天然饲料中的含量为aij，每单位第j天然饲料的价格为cj。试问，应如何对这n种饲料配方，使这批饲料的费用最小?解设xj为第j种天然饲料的用量。显然，aijxj即为所用第j种天然饲料中第i种营养成分的含量，为这批混合饲料中第i种营养成分的总含量；它不应低于bi。于是，我们得下列线性规划模型(1—1)：现设想有一个饲料加工厂欲把这m种营养成分分

2、别制成m种营养丸。设第i种营养丸的价格为ui(i＝1，…，m)。则养鸡场采购一个单位的第j种天然饲料，就相当于对这m种营养丸分别采购数量a1j，…amj，所化费用为养鸡场自然希望在用营养丸代替天然饲料时，在价格上能相对地比较便宜，故而饲料加工厂为了能与天然饲料供应者竞争，在制订价格时必然满足下述条件：另一方面，养鸡场如果全部采购营养丸来代替天然饲料进行配料，则第i种营养丸就需采购bi个单位，所化费用为biui，总费用为z=∑biui饲料加工厂面临的问题是：应把这m种营养丸的单价ui(f=1，…，m)定为多少，才能

3、使养鸡场乐意全部采用该厂生产的营养丸来取代这批天然饲料，且使本厂在竞争中得到最大收益。为该问题建立数学模型，即得如下线性规划(1—2)：我们称问题(1—2)为原有问题(1—1)的对偶问题(记为(D))。原有问题（P）对偶问题（D）影子价格（ShadowPrice）例题2：某工厂计划在下一生产周期生产3种产品A1,A2,A3，这些产品都要在甲、乙、丙、丁4种设备上加工，根据设备性能和以往的生产情况知道单位产品的加工工时、各种设备的最大加工工时限制，以及每种产品的单位利润，如下表。问如何安排生产计划，才能使工厂得到最

4、大利润？设备产品A1A2A3总工时限制/h甲21370乙42280丙30115丁22050单位利润/千元8102解：设x1,x2,x3为产品A1,A2,A3的产量线性规划模型为：Maxf=8x1+10x2+2x3s.t.2x1+x2+3x3≤704x1+2x2+2x3≤803x1+x3≤152x1+2x2≤50最优单纯形表为：x1,x2x3x4x5x6x7x3151/3011/300-1/6x504/300-2/310-2/3x608/300-1/3011/6x2251100001/2-280000-2/300-

5、14/3最优方案为：x1＝0，x2＝25，x3＝15，x4＝0最大利润为280千元现在从另一个角度来讨论问题假设工厂考虑不安排生产，而准备将所有设备出租，收取租费。于是需要为每种设备的台时进行估价。设y1,y2,y3,y4分别表示甲、乙、丙、丁4种设备的台时估价。由例1中的表可知，生产一件产品A1需要各设备台时分别为2h，4h，3h，2h，如果将2h，4h，3h，2h不用于生产产品A1，而是用于出租，租费应满足（为了不蚀本，租费不能少于利润）2y1+4y2+3y3+2y4≥8，依次可分析得线性规划模型如下说明：企

6、业为了能够得到租用设备的用户，使出租设备的计划成交，在价格满足约束条件下，应将设备价格定得尽可能低（why？）最优解：y1＝2/3，y2＝0，y3＝0，y4＝14/3最小租费：280千元定义：原有问题（P）对偶问题（D）设为对偶问题（D）的最优解，则称为原有问题（P）第i个约束对应的影子价格（ShadowPrice）由例2知是对第i种资源（设备台时）的一种估价，这个价格不是市场价格，而是针对具体企业在一定时期内存在的一种特殊价格，它蕴含在求最大利润的生产计划模型中。影子价格的经济含义：（1）影子价格是对现有资源实

7、现最大效益的一种估价。根据例2的讨论，企业可以根据现有资源的影子价格，对资源的使用有两种考虑：第一，是否将设备用于外加工或出租，若租费高于某设备的影子价格，可考虑出租该设备，否则不宜出租；第二，是否将投资用于购买设备，以扩大生产能力，若市价低于某设备的影子价格，可考虑买进该设备，否则不宜买进。（2）影子价格表明资源增加对总效益产生的影响。易见有从而，如果增加一个单位，目标函数值的增量将是，据此，由影子价格的大小可以知道哪种资源的增加可以给企业带来较大的收益。如例2中四种设备的影子价格分别为2/3，0，0，14/3

8、，因此，在同样的条件下，增加设备丁是最有利的，不应增加设备乙和丙。例3：某外贸公司准备购进两种产品A1,A2。购进产品A1每件需要10元，占用5m3的空间，待每件A1卖出后，可获纯利润3元；购进产品A2每件需要15元，占用3m3的空间，待每件A2卖出后，可获纯利润4元。公司现有资金1400元，有430m3的仓库空间存放产品，从而可得线性规划模型如下：最优单纯形表x1,x2