排列组合常用方法汇总.pdf

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1、解排列问题的常用技巧解排列问题:首先必须认真审题,明确问题是否是排列问题;其次是抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析解答;同时,还要注意讲究一些基本策略和方法技巧,使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面就不同的题型介绍几种常用的解题技巧。总的原则—合理分类和准确分步解排列问题，应按元素的性质进行分类，事情发生的连续过程应分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。例1.今有6个同学和2个老师排成一排照相,2个老师站中间,学生甲不站排头,学生乙不站排尾,共有多少种不同的排法？分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：1）若甲在排尾上，则

2、剩下的5人可自由安排，有?5种方法.52)若甲在第2、3、6、7位，则排尾的排法有?1种,第1位的排法有?1种,第2、3、6、744位的排法有?4种，根据分步计数原理，不同的站法有?1×?1×?4种。4444再安排老师，有2种方法。根据分步及分类计数原理，不同的站法共有(?5+?1×?1×?4)×?2=1008(种)54442练习：（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字的五位偶数？个位数为零：?45个位数为2或4：?1×?1×?32444113总数为：?5+?2×?4×?4=120+192=3122）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复

3、数字且能被五整除的五位数？分类：后两位数字为5或0：4个位数为0：?5个位数为5：?1×?344413总数为：?5+?4×?4=120+96=2163）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且大于31250的五位数？141312AAAAAA13252534234）31250是由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？14方法一：（排除法）AA325275554321方法二：（直接法）2AAA2A12755432解题技巧（一）特殊元素的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊

4、元素，再考虑其它元素。例2用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（B）A.24B.30C.40D.60分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；0排在末尾时，有?2=12个；40不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位有?1×?1×?1=18个；233由分类计数原理，共有偶数30个.（二）总体淘汰法(间接法）对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的减去，此时应注意既不能多减又不能少减。例3用0，1，2

5、，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中1不在个位的数共有_______种。分析：五个数组成三位数的全排列有?3个，0排在首位的有?2个，1排在末尾的有?2个，544减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位为0同时个位为1的排列数?1（为什么？）3故共有?3-2?2+?1=60-24+3=39种。543若n个不同元素排m个位，a、b各不能排某位，则有mm1m2A2AA种排法。nn1n2练习(1)五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第2个位置，那么不同的站法有（C）A.120B.96C.78D.724113直接法：?4+?3?3

6、?3=78种543间接法：?5−2?4+?3=78种（2）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字且个位数字不是4的五位数？543A2AA(个）654（3）用间接法解例1“6个同学和2个老师排成一排照相，2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？”2(6!25!4!)1008(种）(4)特殊元素、特殊位置问题用0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的1)五位数;2)六位偶数;3)大于213045的自然数第一问解法(1)位置分析法：首位是特殊位置，0不能排，有5种排法，，其余4个位置有?4种排法

7、，5由乘法原理知共有:5·?4=5·5·4·3·2=600种.5解法(2)元素分析法：0是特殊元素，可先考虑，第一类是五位数中不含0有?5个，第二类五5位数中含0,则第一步先排0有4种排法,第二步有?4种排法,由加法原理和乘法原理知共有5?5+4·?4=600种.55前两种解法都是直接法解法3(间接法)6个数中取5个数的排列中有不满足要求的数如02134等,0这样的数，54共有?6-?5=600种第二问可分为两类：第一类是个位为0的有?5=120个，5第二类个位不是0,个位有两种排法，首位有4种排法，中间四位有?4种排法.第二类共有42·4·?

8、4=192,由加法原理共有?5+192=31245第三问15形如3,4,5