统计计算09随机模拟计算——随机模拟方法的特点.pdf

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1、随机模拟计算随机模拟方法的特点求解确定性问题内容和要求•随机模拟的基本方法；用随机模拟方法求解确定性问题；常用随机过程的模拟；模拟方法在随机服务系统中的应用。•1．了解随机模拟方法的特点、基本步骤；•2．熟练掌握求解确定性问题的随机模拟方法；•3．掌握常见随机过程的模拟方法；•4．能够利用模拟方法进行服务系统的随机模拟。Monte-Carlo方法•一、MC的起源和发展Buffon试验排队系统模拟：M/G/1排队系统•二、MC的原理•三、随机数的产生原理与IMSL库均匀分布U(0,1)的随机数的产生其他各种分布的随机数的产生随机

2、过程模拟•四、MC的应用举例定积分的MC计算随机微分方程的数值模拟•五、EM算法及其MCMC方法一、MC的起源和发展•随机模拟方法，也称为MonteCarlo方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进行的研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的MonteCarlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。冯·诺伊曼是公理化方法和计算机体系的领袖人物，MonteCarlo方法也是他的功劳。•事实上，MonteCarlo方法的基本思想很早以前就被人们所

3、发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。18世纪下半叶的法国学者Buffon提出用投针试验的方法来确定圆周率π的值。这个著名的Buffon试验是MonteCarlo方法的最早的尝试！•历史上曾有几位学者相继做过这样的试验。不过呢，他们的试验是费时费力的，同时精度不够高，实施起来也很困难。然而，随着计算机技术的飞速发展，人们不需要具体实施这些试验，而只要在计算机上进行大量的、快速的模拟试验就可以了。•在大众的心目中，科学的代言人是心不在焉的牛顿或者爆炸式发型的爱因斯坦，但这只是传统形象，比他

4、们更了解现代计算技术的冯·诺伊曼是个衣着考究，风度翩翩的人物，他说：纯粹数学和应用数学的许多分支非常需要计算工具，用以打破目前由于纯粹分析的研究方法不能解决非线性问题而形成的停滞状态。•MonteCarlo方法是现代计算技术的最为杰出的成果之一，它在工程领域的作用是不可比拟的。Buffon试验•假设平面上有无数条距离为1的等距平行线，现向该平面随机投掷一根长度为的针()，ll≤1•则我们可计算该针与任一平行线相交的概率。这里，随机投针指的是：针的中心点与最近的平行线间的距离均匀的分布在区间x。上，针[0,12]与平行线的夹角（

5、不管相交与否）均匀的分布ϕ在区间上。[0,π]•因此，针与线相交的充要条件是x1≤sinϕ2Buffon试验•从而针线相交的概率为l⎛l⎞πϕsin22lpPXsin⎟=2dxd==ˆ⎜≤ϕ∫∫ϕϕ200lx•根据上式，若我们做大量的投针试验并记录针与⎝⎠ππ线相交的次数，则由大数定理可以估计出针线相交的概率，从而得到p的估计值。π•针与线的位置关系：排队系统模拟：M/G/1排队系统1服务规则：先到先服务假设：（１）顾客到达遵循Poisson分布；（２）服务时间服从一般分布；（３）到达间隔与服务时间相互独立．排队系统模拟：M/

6、G/1排队系统关心的指标：（１）时刻t时，系统中的顾客数；即队长的分布；（２）顾客的等待时间；（３）服务的忙碌程度；（４）．．．．．．．用最朴素的Monte-Carlo方法可以得到这些指标的估计．二、MC的原理•应用MonteCarlo方法求解工程技术问题可以分为两类：•确定性问题•随机性问题确定性系统模拟随机性系统自然界重复试验Monte-Carlo模拟，即随机模拟（重复“试验”）计算机模拟思路：•1、针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的概率分布或其某些数字特征，比如，均值和方

7、差等。所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致的。•2、根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，再进行随机模拟试验。思路：•3、根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。•4、按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。•5、统计分析模拟试验结果，给出问题的估计以及其精度估计。•6、必要时，还应改进

8、模型以降低估计方差和减少试验费用，提高模拟计算的效率。•收敛性:由大数定律,Monte-Carlo模拟的收敛是以概率而言的．•误差:用频率估计概率时误差的估计，可由中心极限定理，给定置信水平的条件下，有：αUσ1−α/2•

9、ε

10、≤σ=Var(g(X))N•模拟次数:由误差公式