拓扑学第四章 紧致性.doc

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1、第四章紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质）。§4-1度量空间中紧性（简单复习）定义1设是的一个子集。如果中任一无穷点列有子列收敛于中的一点，则称是相对列紧的；如果中每个收敛子列的极限点都属于，则称是列紧的；如果本身是列紧的，则称为列紧空间。注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。●下面的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不

2、加证明的给出）（1）有限子集总是列紧的。（2）列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）。（3）若是的列紧子集，则是的有界闭集。（4）在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果是列紧空间，则列紧是闭集。（5）列紧的度量空间必是可分的。●进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。人们找出了一种非序列刻画的方式。定义2设是的一个子集。是的一族开集，满足，则称为在中的开覆盖；若中只有有限个子集，称为有限开覆盖；若本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称为紧致空间（有的书成为紧空间）★理论上可以证明：对于度量空间来说，

3、列紧性与紧致性是等价的。即列紧空间紧致空间（这在泛函分析书中都有介绍）。§4-2拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。所以，最早人们认为上这个特性取决于上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。后来研究发现，在拓扑空间上，序列并不是个好的表达形式。因此，列紧性并未触及到问题的本质。进一步深入研究，认为用“开集”表达形式更为自然。并且从实分析理论中知道：“实数空间的子集为有界闭集它的

4、每一开覆盖都有有限子覆盖”。这种描述的优点：①用有限族去代替无穷族（序列）的研究；②无须度量描述。解释：为什么可以用有限覆盖表述无穷序列收敛？定义3设为拓扑空间，如果的每一开覆盖都有有限子覆盖，则称为紧致空间。★显然，每一紧致空间也都是Lindelöf空间（的每一开覆盖都有可数子覆盖），反之不然。定义4设为拓扑空间的非空子集，若作为的子空间是紧致的，则称为的紧致子集。例1实数集不是紧致空间。因为为的开覆盖，但是中任何有限子集族的并集为，它不能覆盖，即没有有限子覆盖（解释：要覆盖只有。但这是一个无限的过程，不能用有限的方法得到）。例2的开区

5、间不是紧致的。因为开区间族：是的一个开覆盖，中任何有限个成员都不能覆盖。例3的子空间（为正整数集）是紧致的。因为，任给的一个开覆盖，中有一个成员包含0，记这个成员为（开区间）。于是，开区间除了有限个“”外，它要包含的所有其余的点，因此，对于中的每一个未包含的点，从中选一个报还它的成员，这些成员当然是有限的。例4任何一个仅含有限多个点的空间必然是紧致的。●重新看一下定义4：说为拓扑空间的紧致子集，是指中的开集构成的的覆盖都有有限子覆盖，并没有明显说明：每一的开集构成的的覆盖都有有限子覆盖。因此，下面的定理是必要的。定理1拓扑空间的子集是的紧

6、致子集每一由的开集构成的的覆盖都有有限子覆盖。证明：假设是紧致的。令是由的开集组成的的一个覆盖，那么，就是中开集所组成的的一个开覆盖。由于是紧致的，从而有一个有限子族可以覆盖，即它就是的一个覆盖的有限族。反之，设的每一由的开集构成的覆盖都有有限子覆盖。设为的由的开集构成的覆盖，其有限子覆盖为而故是的紧致子集。定理2设为拓扑空间的基，若由的成员构成的的每一覆盖（自然是开的）都有有限子覆盖，则为紧致空间。证明：设是的任一开集。对于，则是开集，故存在的子族，使得。令（即，覆盖中所有成员的中集族）由即，是中成员构成的的覆盖。如果有有限子覆盖，不妨

7、设为。故存在，使得，从而。于是，的有限子集族一定是的子覆盖。所以，为紧致空间。定理3紧致空间的每一闭子集都是紧致子集。证明：设是紧致空间的闭子集，于是是的一个开集。如果是的任一开覆盖，不难看出构成的一个开覆盖。又因为是紧致的，故中存在有限集族是的有限子覆盖，而是的一个有限子覆盖，即闭集的任一开覆盖都有有限子覆盖，所以，是紧致的。●下面的几个定理不加以证明的给出。定理4每一拓扑空间都是某一紧致空间的子空间。定理5若均为紧致空间，则积空间为紧致空间。定理6设是从拓扑空间到的连续映射，若是的紧致子集，则是的紧致子集。上述定理的解释：abNR▲定

8、理4说明，对于非紧致的拓扑空间，可以通过补充一些元素的方法，使其成为紧致空间，并将这个紧致空间称为原空间的加一点的紧致化。实直线的单点紧致化同胚于圆周（补充点）；的单点紧致化同胚于球面。同时，