求函数最值的12种方法.pdf

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1、梧桐叶上三更雨，叶叶声声是别离。求函数值域的12种方法一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。1.函数ykxb(k0,xR)的值域为R；24acb2，+)，2.二次函数yaxbxc(a0,xR)当a0时值域是[4a2当a0时值域是(,4acb]；4a3.反比例函数yk(k0,x0)的值域为{y

2、y0}；xx4.指数函数ya(a0,且a1,xR)的值域为R；5.对数函数ylogax(a0,且a1,x0)的值域为R；6.函数ysinx,ycosx(xR)的值域为[-1，1]；函数ytanx(xk,kZ),2

3、ycotx(xk,kZ)的值域为R；7.对勾函数ayx(a0,x0)的值域为(,2a][2a,)；x8.形如ayx(a0,x0)的值域为{y

4、y0}；渐近线为y=xx二、求值域的方法1.直接法(观察法)通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域2例1求函数y2x4x3（x∈[0,3]）的最值2解：∵y2(x1)1，∴当x=3时，ymax=9,x=1时，ymin=1.例2求函数y=3+2-3x的值域。解：由算术平方根的性质，知2-3x≥0，故y=3+2-3x≥3.∴函数的值域为[3,.cxd2.反函数法求值域对于

5、形如y(a0)的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过axb求反函数的定义域从而得到原函数的值域。x+1例3求函数y=的值域。x+2x+112-y解：显然函数y=的反函数为:x=,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,yx+2y-1∈R｝。3.换元法求值域对形如yaxbcxd(a0,c0)的函数常设tcxd来求值域；对形如1梧桐叶上三更雨，叶叶声声是别离。2yaxbccx(a0,c0)的函数常用“三角换元”，如令xcos来求值域。例4求函数yx32x1的值域。12121217解：设t2x1(t0),则x(t1

6、)。于是y(t1)3t(t1)44.222227所以，原函数的值域为：,。22222例5已知p(x,y)是圆xy4上的点，试求txy3xy的值域。2222x2y2解：在三角函数章节中我们学过：sincos1注意到xy4可变形为：()()122xy令cos,sin,[0,2)则t432cos2sin46sin222又2[0,4)即sin2[1,1]故t[2,10]2例6求函数yx1x的值域2xsin([,解：∵1-x≥0,∴

7、x

8、≤1,设]),则ysin

9、cos2sin()2243,1y24442例7求函数fx()xx4x3的值域。22解：由fx()xx4x3x(x2)1，令x2sin，其中,，则22fx()2sincos22sin()，432因为,，所以,，从而sin(),1，因此fx()1,22。22444424.配方法求值域二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。x2x例8

10、求f(x)234在区间1,0内的最值。x2xx224解：配方得f(x)2343(2)331xx224xx1,0，所以21，从而当2即xlog2时，fx()取得最大值；当21即x023332梧桐叶上三更雨，叶叶声声是别离。时fx()取得最小值1。2a1xb1xc1225.用“方程判别式”法求值域对形如y(a1a20)的函数常转化成关于x的二2a2xb2xc2次方程，由于方程有实根，即0从而求得y的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论。2xx1例9求函数y=的最值2x2x222解：∵分母(x1)

11、1≠0,∴定义域为R.原式化为(y1)x(2y1)x(2y1)=0.213当y≠1时，此二次方程有实根.∴△=(2y1)4(y1)(2y1)=(2y1)(2y3)≥0，即≤y≤；221331当y=1时，x=1，即x=1时，y=1∈[,].∴ymax=，ymin=.22223×1+4x2x例10求函数y=－的最值42x3×1+4x222解：由y＋=平方整理得：8x－16yx+3－16y=0.由于x为实数，24