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1、计算方法第八章上机作业沈欢北京大学工学院，北京1008712012-05-011问问问题题题描描描述述述编制松弛法求解线性方程组的程序：分别取松弛因子ω=0,0.1,0.2,⋯2.0（间隔为0.1），求解线性方程组Ax=b，其中231111123456611111776234567A=6111117(1)63456776111117445678511111567892316760767b=66077(2)674050¡!¡!¤¡4要求精度为kx¡xk<10(1)经过计算判断对那些ω迭代收敛？(2)记下
2、迭代次数，据此判断对哪个ω迭代收敛最快。2SOR方方方法法法描描描述述述松弛法迭代的矩阵形式为：¡!k+1¡!k+1¡!k¡!x=!Lx+[(1¡!)I+!U]x+!g(3)其中，常数!称为松弛因子。!<1称为低松弛或亚松弛法。!>1称为超松弛法，!=1时为Seidal迭代法。收敛最快的松弛因子称为最优松弛因子，一般要由经验或通过试算来确定。选取适当的松弛因子，SOR迭代要比Jacobi迭代或Seidal迭代快很多。1在编制计算机程序的过程中使用分量形式进行迭代：Xi¡1aXnabxk+1=(¡!¤i
3、j)xk+1+(1¡!)xk+(¡!¤ij)xk+!¤i(4)iajiajaiiiiiij=1j=i+1其中，i=1,2,.....,n。本程序按上述分量形式进行迭代计算。迭代停止的条件是：maxjxk+1¡xkj<"(5)ii本程序中取"=10¡4¡!T在本程序中，初始的迭代向量取为：x0=[1;1;:::::;1;1]图1:程序友好的输入界面23程程程序序序描描描述述述附件程序“Iteration.cpp"用上述SOR迭代方法实现了求解方程组Ax=b的功能程序分为主程序main和子函数”voidS
4、OR(intn,doublew,double**A,double*b)“两部分。主函数实现以下功能：1、用友好的语言提示用户输入矩阵A(n*n)和右端项b，以及迭代因子!。输入格式如图一所示。2、为矩阵A和右端项b开辟动态存储空间，分别开(n+1)*(n+1)和(n+1)*1的大小。3、调用子函数”voidSOR(intn,doublew,double**A,double*b)“求解该问题并输出。子函数”voidSOR(intn,doublew,double**A,double*b)“实现如下功能：¡
5、!¡4¡!T1、定义迭代精度"和初始向量x0,本程序中取"=10,x0=[1;1;:::::;1;1].2、按照第2部分中的算法,用分量形式进行SOR迭代计算3、迭代结束的条件为：maxjxk+1¡xkj<"ii4、在该子函数中设有迭代收敛标识convergence,如果迭代10000000(千万次)次还没有正常结束，那么就将该标识赋0，认为该迭代方法不收敛，输出报错信息。5、输出计算结果，如果迭代法收敛就输出方程的解，如果不收敛就输出报错信息。4计计计算算算结结结果果果计算结果如表一所示。从表一中可
6、以看出，当!从0逐次增加0.1变化到2的过程中,当且仅当!=0和!=2迭代算法不收敛，对其他的!值而言迭代算法均收敛。迭代次数随着!的增大而递减，说明对本题中的系数矩阵A而言，!越大，谱半径越小，迭代算法越快。图二和图三分别显示了w=0.1和w=1.9时的计算结果，其余计算结果由笔者经同样过程完成。3表1:计算结果显示!是否收敛迭代次数方程组的解0不收敛无无0.1收敛1566782[24:629762;¡293:079606;1020:181837;¡1355:007464;608:006433]T0
7、.2收敛900901[24:824221;¡296:718124;1035:869182;¡1378:688317;619:585944]T0.3收敛628945[24:889043;¡297:931003;1041:098467;¡1386:582193;623:445908]T0.4收敛476650[24:921455;¡298:537463;1043:713203;¡1390:529275;625:375961]T0.5收敛377657[24:940904;¡298:901383;1045:28
8、2238;¡1392:897817;626:534137]T0.6收敛307370[24:953872;¡299:144030;1046:328410;¡1394:477072;627:306366]T0.7收敛254438[24:963137;¡299:317385;1047:075827;¡1395:605343;627:858071]T0.8收敛212851[24:970087;¡299:447429;1047:636518;¡1396:45174
