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1、解析几何综合题(一)网上课堂[本讲主要内容]本讲综合题的类型主要有：(1)求动点的轨迹方程；(2)求指定的圆锥曲线的方程；(3)直线与圆锥曲线的问题；(4)建系求曲线方程和有关圆锥曲线的对称问题.[学习指导]解析几何主要有三部分内容,解综合题时要注意各部分内容的重点及难点.(1)直线的方程,包括直线方程的形式和直线方程中各元素的几何意义.直线方程中体现的数学思想和方法是解析几何的基础,其难点是直线方程的适用范围,这部分内容在解题时容易疏漏.(2)圆锥曲线,包括各种圆锥曲线的方程,以及其中所含各元素的几何意
2、义,其难点是利用元素的几何意义使问题得以简化.(3)直线与直线,直线与圆锥曲线的位置关系,主要包括直线与直线的垂直和平行的判定和应用,直线与圆锥曲线的相切和相交的判定和应用.解综合题时,要首先掌握各部分内容的基础知识,注意训练计算能力,在此基础上,要注意以数学思想方法为主线,依据每一类问题的特点,明确解决问题的基础思路与基本方法.[例题精讲]例1．已知双曲线C：,设该曲线上支的顶点为A,且与直线y=-x交于点P,以A为焦点,M(0,m)为顶点的开口向下的抛物线通过点P,当C的一条渐近线的斜率在区间[]上变
3、化时求直线PM斜率的最大值.[分析及解]本题考查双曲线、抛物线和直线的综合知识,以及函数的最值知识和考查分析问题、解决问题的能力.设直线PM斜率为k,双曲线方程可整理为,其渐近线方程为∴≤≤解得：4≤≤9.双曲线与直线y=-x交于第二象限.x<0,y>0联立解得：.令x=0代入双曲线C可得A(0,1)又∵M(0,m)∴抛物线方程为.又∵P(-a,a)∴①∵,∴m=ak+a.代入①得：.∵2≤a≤3∴2≤≤3.解得：≤k≤,∴k的最大值为.例2．过点A(-1,-6)的直线l与抛物线相交于P、Q两点(P,Q不
4、重合)(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)若以PQ为直径的圆过抛物线顶点求直线l的方程及此圆的方程.[分析及解]本题考查了直线与抛物线、圆的综合知识对于过点A(-1,-6)的直线l,要注意考虑l⊥x轴的情况,当l⊥x轴时,l与抛物线不相交.∴设直线l:y=k(x+1)-6,代入消去x得由题意知k≠0,否则l与抛物线只有一个交点.因此l与抛物线有两个不同交点时Δ=1-k(k-6)>0,得.∴直线l斜率范围为()∪(0,).(2)设所求圆方程,其中P(),Q(),PQ为直线.∴.∵圆过坐标原点,∴.又,,
5、得或.在(1)中由韦达定理知∴可解得或k=6.当,,,.∴直线l:.圆的方程为.当k=6,,,.∴直线l：y=6x,圆的方程为.例3．以直线x+2=0为准线,中心在直线y=2上,离心率为,且过定点M(1,0)的椭圆是否存在？若存在,求出椭圆的方程,若不存在,说明理由,又若将“中心在直线y=2上”改为“中心在直线x=2上”,其它条件不变,本题结论有何变化？[分析与解](1)显然,若椭圆存在,则焦点也在直线y=2上,而点M(1,0)到准线x+2=0的距离为3,由知,M到焦点的距离为,但M到直线y=2的距离为.
6、因此,这样的焦点是不存在的.即椭圆也不存在.(2)当中心在直线x=2上时,点不好确定,我们不妨设中心为(2,t)由,可知,得b2=3.设方程为,而M(1,0)在椭圆上,∴,.由t值的存在性可知,符合条件的椭圆是存在的,且方程为.(二)网上能力训练题A．能力训练部分1．已知椭圆C的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上,且其右焦点到直线的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)试问能否找到一条斜率为k(k≠0)的直线l,使l与椭圆交于两个不同的点M、N,使
7、AM
8、=
9、AN
10、,并指出k的取值范围.2．已知椭圆中
11、心在原点,准线为,如果有直线与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的位置,求此椭圆方程并求过左焦点F1与直线平行的弦EF的长.3．若抛物线和圆有四个交点,则a的取值范围如何？4．经过抛物线的焦点F的直线l与该抛物线交于A、B两点(1)若AB的中点为M(x,y),直线l的斜率为k,试用k表示点M的坐标；(2)若直线l的斜率k>2且点M到直线3x+4y+m=0的距离为,试确定m的取值范围.5．在抛物线的上方,求一个与抛物线相切于原点的半径最大的圆的方程.6．直线y=ax+1与双曲线相交于A、B两点,是否存在这样的
12、实数a,使A,B两点关于l:x-2y=0对称？若存在,则求出a值；若不存在,请说明理由.7．已知双曲线的离心率,左、右焦点分别为F1,F2,左准线为l,能否在双曲线左半支上找到一点P,使得
13、PF1
14、是P到l的距离d与
15、PF2
16、的比例中项？8．椭圆与直线x+y-1=0相交于A、B两点,已知AB的长为,AB的中点C与椭圆中心连线的斜率是,试求a,b的值.9．已知直线l的方程为,抛物线C1的顶点和椭圆C2的中心都在坐标原点,且它们的
