高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模教案1 北师大版必修.doc

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1、实际应用题的函数建模学习目标：1.掌握函数建模的思想方法，熟悉几种常见的函数模型；2.增强应用意识，培养分析问题解决、解决问题的能力．重点：函数建模的思想方法．知识点精述：所谓实际应用题的函数建模，就是将实际应用题的变量关系用函数关表示出来，再利用函数的图像与性质（单调性、奇偶性、最值、值域等）得出数学结论，从而解决实际问题．函数建模的思想体现了函数的应用意识与转化的方法．常见的函数模型有：1.一次函数型；2.二次函数型；3.正比例函数型；4.反比例函数型；5.指数函数型；6.对数函数型；7.分段函数型．等等．利用数学知识解决实际问题的一般方法——建模的思想方法：数学模型（

2、如函数式、方程等）实际问题分析数量关系，抽象转化为数学问题推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明典例解析：例1．小芳以200米／分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度20米／分，又匀速跑10分钟．试写出这段时间里她跑步速度y（米／分）随跑步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象．分析：本题y随x变化的规律分成两段：前5分钟与后10分钟．写y随x变化函数关系式时要分成两部分．画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变量的取值范围．解：点评：这里建立的函数是分段函数，其中第一段是一次函数式，第二段是常函数式．在分析解决函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科

3、学合理，又要符合实际．例2、因仪器和观察的误差，n次测量分别得到n个数据．规定最佳近似值a与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，求a值(用a1，a2，…，an表示)．解析：建立关于a的二次函数，得y=(a-a1)2+(a-a2)2＋…＋(a-an)2　　　　点评：这是二次函数的应用．　例3．将进货单价为40元的仿古瓷瓶，按50元一个销售时能卖出500个．如果这类瓷瓶每个涨价1元时，销售量就减少10个．为了获取最大利润，售价应定为多少元？解析：设每个提价x元，即每个售价为(50＋x)元，销量为(500-10x)个，则获利　　y=(50+x)(500-10x)-40(5

4、00-10x)=-10(x-20)2＋9000．所以x=20时，获利y取得最大值，即销售单价为70元时，获得利润最大．点评：应用二次函数可解决某些最值问题．例4.按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为，存期为，写出本利和随存期变化的函数式，如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？分析：了解复利概念之后，利率就是本金的增长率，和大家初中所接触的增长率问题相似．解析：已知本金为元1期后的本利和为；2期后的本利和为；3期后的本利和为；……，期后的本利和为．将（元），=2.25%,代入上式得由计算器算得（元）．答：复利函数式为，5

5、期后的本利和为1117.68元．点评：此题解答的过程体现了解题的思路，再现了探究问题的过程，容易被学生接受．创建的函数模型是指数函数型．例5.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（其中为常数）．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．解析：根据题意，该产品的月产量是月份的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量愈接近于1.37万件，哪种函数作为模

6、拟函数就较好，故应先确定出这两个函数的具体解析式．设为常数，且，，根据已知，得及解得．显然更接近于1.37，故选用作为模拟函数较好．点评：这是一个如何选取函数模型的问题，通过数学计算，得到最优方案，十分实用．总结：应用题的基本步骤。1．数学应用题的能力要求：阅读理解能力；抽象概括能力；数学语言的运用能力；分析、解决数学问题的能力2．解答应用题的基本步骤：合理、恰当假设；抽象概括数量关系，并能用数学语言表示；分析、解决数学问题；数学问题的解向实际问题的还原。实习报告：下面，我通过例题可向大家说明了实习作业的基本要求和方法，并给出了实习报告的规范格式。接下来，我们可以讨论一下，

7、在我们的日常生活中，有哪些函数知识被实际所应用。我们的实习活动以什么样的方式和方法来进行。希望大家畅所欲言。例6.某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：（1）写出该城市人口数（万人）与年份（年）的函数关系式；（1）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（2）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）；分析：此题是一道关于人口的典型问题，计划生育是我国的基本国策，通过此题可以让学生了解控制人口的现实意义。解：（1）1年后该城市人口总数为2年后该城市人