高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 抛物线 2.2.1 抛物线及其标准方程导学案 北师大版选修.doc

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1、2.2.1　抛物线及其标准方程学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题.知识点一　抛物线的定义思考1　如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？答案　平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线上)距离相等的点的轨迹叫作抛

2、物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线.思考2　抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？答案　不能，若l经过点F，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于l的一条直线.梳理　(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线.(2)焦点：点F.(3)准线：直线l.知识点二　抛物线的标准方程思考1　抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？答案　p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向.思考2　抛物线标准方程的特点？答案　(1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0

3、的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于.思考3　已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？答案　一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上.焦点确定，开口方向也随之确定.梳理　抛物线的标准方程有四种类型图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦点坐标准线方程x＝－x＝y＝－y＝类型一　抛物线定义的解读例1　方程＝表示的曲线是(　　)A.圆B.椭圆

4、C.线段D.抛物线答案　D解析　＝，它表示点M(x，y)与点F(－3，1)的距离等于点M到直线x－y＋3＝0的距离，且点F(－3，1)不在直线上.根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线.反思与感悟　根据式子的几何意义，利用抛物线的定义，可确定点的轨迹，注意定义中“点F不在直线l上”这个条件.跟踪训练1　若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是________.答案　抛物线解析　由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2，0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，其方程为y2＝8x.类

5、型二　抛物线的标准方程及求解命题角度1　抛物线的焦点坐标或准线方程的求解例2　已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程.(1)y2＝－6x；(2)3x2＋5y＝0；(3)y＝4x2；(4)y＝ax2(a≠0).解　(1)由方程y2＝－6x，知抛物线开口向左，2p＝6，p＝3，＝，所以焦点坐标为(－，0)，准线方程为x＝.(2)将3x2＋5y＝0化为x2＝－y，知抛物线开口向下，2p＝，p＝，＝，所以焦点坐标为(0，－)，准线方程为y＝.(3)将y＝4x2化为x2＝y，知抛物线开口向上，2p＝，p＝，＝，所以焦点坐标为(0，)，准线方程为y＝－.(4)抛物线方程y＝a

6、x2可化为x2＝y，当a>0时，2p＝，p＝，故焦点坐标是(0，)，准线方程是y＝－.当a<0时，2p＝－，p＝－，故焦点坐标是(0，)，准线方程是y＝－.综上，抛物线y＝ax2的焦点坐标(0，)，准线方程为y＝－.引申探究1.将例2(4)的方程改为y2＝ax(a≠0)结果如何？答案　焦点是(，0)，准线方程是x＝－.2.将例2(4)的方程改为x2＝ay(a≠0)，结果如何？答案　焦点是(0，)，准线方程是y＝－.反思与感悟　如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向.一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对

7、称轴，一次项系数的符号决定开口方向.跟踪训练2　已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－6x－7＝0相切，则p为(　　)A.2B.1C.D.答案　A解析　注意到抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，曲线x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，它表示圆心为(3，0)，半径为4的圆.由题意得＝4.又p>0，因此有＋3＝4，解得p＝2，故选A.命题角度2　求抛物线的标准方程例3　求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(－3，2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与