高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例学案（含解析）新人教A版必修.doc

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1、3．2.2　函数模型的应用实例[导入新知]1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)

2、＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．2．建立函数模型解决问题的框图表示[化解疑难]求解函数应用题的程序二次函数模型　　[例1]　已知某种商品涨价x成(1成＝10%)时，每天的销售量减少x(其中x>0)成．(1)应该涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？(2)如果适当涨价，能使每天的营业额增加，求x的取值范围．[解]　设商品原价格为m，每天的原销售量为n，则每天的原营业额为m·n，涨价后每天的营业额为y＝m···n.(1)y＝m···n＝·m·n.当x＝，即涨价125%时，每天的营业额最

3、大．(2)要使涨价后每天的营业额比原来增加，则需m···n＞m·n，即2x2－5x＜0，变形得x(2x－5)<0.又x>0，故0＜x＜.∴x的取值范围为.[类题通法]利用二次函数模型解决问题的方法在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．[活学活用][活学活用]如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边

4、形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．解：(1)作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米．又△EPQ∽△EDF，所以＝，即＝.所以y＝－x＋10，定义域为{x

5、4≤x≤8}．(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增．所以

6、当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米.分段函数模型[例2]　提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测

7、点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)．[解]　(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20＜x≤200时，设v(x)＝ax＋b(a≠0)，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)＝(2)依题意并结合(1)可得f(x)＝当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20＜x≤200时，f(x)＝x(200－x)＝－(x－100)2＋≤，当且仅当x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f(x)在区间

8、(20,200]上取得最大值.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时．[类题通法]构建分段函数模型的关键点建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．[活学活用]某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据

9、测定：每毫升血液中含药量不少于4μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解：(1)依题意得y＝(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－t1＋＝4，解得t1＝4，因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－t2＋－(t2－4)＋＝4，解得