高中数学 第一章 解三角形 1.2.2 正、余弦定理在三角形中的应用学案（含解析）新人教A版必修.doc

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1、1.2.2　正、余弦定理在三角形中的应用三角形的面积公式[提出问题]在△ABC中，若AC＝3，BC＝4，C＝60°.问题1：△ABC的高AD为多少？提示：AD＝AC·sinC＝3×sin60°＝.问题2：△ABC的面积为多少？提示：S△ABC＝BC·AD＝×4×＝3.问题3：若AC＝b，BC＝a，你发现△ABC的面积S可以直接用a，b，C表示吗？提示：能．S＝absinC.[导入新知]三角形的面积公式(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝absinC＝bcsinA＝acsinB.[化解疑难]

2、三角形的面积公式S＝absinC与原来的面积公式S＝a·h(h为a边上的高)的关系为：h＝bsinC，实质上bsinC就是△ABC中a边上的高．三角形的面积计算[例1]　在△ABC中，已知C＝120°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．[解]　由正弦定理知＝，即＝，所以sinB＝，由于AB＞AC，所以C＞B，故B＝30°.从而A＝180°－120°－30°＝30°.所以△ABC的面积S＝AB·AC·sinA＝·2·2·sin30°＝.[类题通法]1．求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便

3、、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．2．事实上，在众多公式中，最常用的公式是S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．[活学活用]1．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，S△ABC＝64，则c＝________.解析：由已知得S△ABC＝·bc·sinA，即64＝×16×c×sin60°，解得c＝16.答案：16

4、2．在△ABC中，若a＝3，b＝2，c＝4，则其面积等于________．解析：由余弦定理得cosA＝＝＝，所以sinA＝＝，于是S△ABC＝bcsinA＝×2×4×＝.答案：三角形中的恒等式证明问题[例2]　在△ABC中，求证：＝.[证明]　法一：左边＝＝·＝＝＝＝右边，其中R为△ABC外接圆的半径．∴＝.法二：左边＝＝＝＝＝右边，(cosC≠0)∴＝.[类题通法]解决此类问题，既要用到三角形中特有的恒等变形公式，又要用到任意角三角函数的恒等变形公式，两者要结合，灵活运用．三角形边和角的相互转换公式，主

5、要是正弦定理、余弦定理这两个定理，因此这类题型都可用不同的途径求解．[活学活用]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：－＝c.证明：由余弦定理的推论得cosB＝，cosA＝，代入等式右边，得右边＝c＝＝＝－＝左边，∴－＝c.三角形中的综合问题[例3]　(浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．[解]　(1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sin

6、AcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)由S＝得absinC＝，故有sinBsinC＝sinA＝sin2B＝sinBcosB.因为sinB≠0，所以sinC＝cosB.又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.当B＋C＝时，A＝；当C－B＝时，A＝.综上，A＝或A＝.[类题通法]解决三角形的综合问题，除灵活运用

7、正弦、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识．因此，掌握正弦、余弦定理，三角函数的公式和性质是解题关键．[活学活用]已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，b＝5，S＝5，求c.解：∵S＝absinC，∴5＝×4×5sinC，∴sinC＝.而0°

8、×4×5cos120°＝61，∴c＝，故c的长为或.　　　　[典例]　(12分)如图，在四边形ABCD中，AC＝CD＝AB＝1，·＝1，sin∠BCD＝.(1)求边BC的长；(2)求四边形ABCD的面积．[解题流程][规范解答](1)∵AC＝CD＝AB＝1，∴·＝

9、

10、·

11、

12、·cos∠BAC＝[名师批注]向量数量积运算公式易用错，在△ABC中，和夹角有时误认为是∠ABC，从而不得分．2cos∠BAC＝1，∴cos∠BAC＝，∴∠