高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质与推论学案 新人教B版必修.doc

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1、1.2.1　平面的基本性质与推论[学习目标]　1.掌握平面的基本性质和三个推论，会用三种语言表述性质与推论.2.了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面之间的位置关系.[知识链接]1.在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、重合.2.点和直线的位置关系有点在直线上和点在直线外.[预习导引]1.平面的基本性质(1)基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内，这时我们说，直线在平面内或平面经过直线.(2)基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.也可简单说成，不共线的三点确定一个平面.(3)基本性质3：如果不重合的两个平面有

2、一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交.这条公共直线叫做两个平面的交线.2.平面基本性质的推论(1)推论1　经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.(2)推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面.(3)推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面.3.共面和异面直线(1)共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面.(2)异面直线：既不相交又不平行的直线.要点一　三种语言的转换例1　用符号语言表示下列语句，并画出图形.(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于P

3、B，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解　(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图(1)(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图(2).规律方法　(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪演练1　根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相

4、应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.解　(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图(1).(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图(2).(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图(3).要点二　点线共面问题例2　证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内.证明　方法一　(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内.方法二　

5、(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内.∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内.规律方法　在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.跟踪演练2　已知直线a∥b，直线

6、l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.证明　如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面.要点三　点共线与线共点问题例3　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线.证明　∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，

7、可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线.规律方法　点共线与线共点的证明方法：(1)点共线：证明多点共线通常利用基本性质3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直