高中数学 1.7 3定积分及其应用教案 新人教A版选修.doc

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1、2013年高中数学1.73定积分及其应用教案新人教A版选修2-2定积分是积分学中另一个重要概念，是积分学的重要内容，定积分的概念及计算在自然科学和各种实际问题中都有广泛的应用，本章通过两个典型的问题抽象出定积分的概念，然后讨论定积分的性质，揭示定积分与不定积分之间的内在联系，最后简单介绍定积分在几何与力学等方面的应用．第一节　定积分的概念与性质一、定积分问题举例我们先从两个例子谈起．1．曲边梯形的面积设函数在区间上非负且连续，由直线、、轴和曲线及曲线所围成的图形称为曲边梯形（图5-1），其中曲线称为曲边．图5-1图5-2下面我们讨论曲边梯形面积的求法．我们知道，矩形的高是不变的，

2、它的面积很容易计算．而曲边梯形的高没有定义，因此它的面积我们没有现成的计算方法．如果我们将上任一点处的函数值看作为曲边梯形在处的高，则曲边梯形的高是变化的．但因是区间上的连续函数，所以在一个相当小的区间上，的值变化不大．因此，如果把区间划分为许多小区间，在每个小区间上用某一点处的值来定义同一个小区间上的窄曲边梯形的高，那么每个窄曲边梯形就可近似地看成这样得到的窄矩形，我们就将所有这些窄矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值（图5-2）．直观上看，这样的区间越短，这种近似的程度就越高，若把区间无限细分下去，即使每个小区间的长度都趋于零，这时所有窄矩形面积之和的极限就可定义为曲边梯形的

3、面积，这就给出了计算曲边梯形面积的思路，现详述如下：（1）将区间划分为个小区间，即在区间内任意插入个分点：，这个小区间分别为，其长度依次记为．（2）过每个分点作垂直于轴的直线段，把整个曲边梯形分成个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为，在每个小区间上任取一点，用以为底、为高的窄矩形近似代替第个小曲边梯形，则，．这样得到的个小矩形面积之和显然是所求曲边梯形面积的近似值，即．（3）记，则当时，每个小区间的长度也趋于零．此时和式的极限便是所求曲边梯形面积的精确值．即．2．变速直线运动的路程设物体作变速直线运动，已知其速度是时间的连续函数，即，计算在时间间隔内物体所经过的路程．因为物体作变速

4、直线运动，速度随时间而不断变化，故不能用匀速直线运动公式：来计算，然而物体运动的速度函数是连续变化的，在很小的一段时间内，速度的变化很小，近似于等速，在这一小段时间内，速度可以看作是常数，因此求在时间间隔上运动的距离也可用类似于计算曲边梯形面积的方法来处理．具体步骤如下：（１）在时间间隔中任意插入个分点，这个分点将区间分成个小区间，它们的长度依次为，相应地，记在各段时间内物体经过的路程依次为．（2）将物体在每个小区间上的运动看作是匀速的，在时间间隔上任取一个时刻，以时刻的速度来代替上各个时刻的速度，得到时间段上路程的近似值，即，那么这段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程

5、的近似值，即，（3）记，则当时，每个小区间的长度也趋于零．此时和式的极限便是所求路程的精确值．即.上面的两个例子中，一个是几何问题，一个是物理问题，尽管问题的背景不同，所要解决的问题也不相同，但是反映在数量上，都是要求某个整体的量，而计算这种量所遇到的困难和为克服困难采用的方法都是类似的，都是先把整体问题通过“分割”化为局部问题，在局部上通过“以直代曲”或“以不变代变”作近似代替，由此得到整体的一个近似值，再通过取极限，便得到所求的量．这个方法的过程我们可简单描述为“分割—代替—求和—取极限”．采用这种方法解决问题时，最后都归结为对某一个函数实施相同结构的数学运算—和数的极限．事

6、实上，在自然科学和工程技术中，还有许多类似问题的解决都要归结为计算这种特定和的极限，抛开问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，抽象出其中的数学概念和思想，我们就得到了定积分的定义．　二、定积分的定义定义　设函数在区间上有界，在中任意插入个分点，把区间分成个小区间，各个小区间的长度依次为．在第个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并作出和式　　　（1）　　记，如果不论对进行怎样的分法，也不论在小区间上的点怎样的取法，只要当时，和（1）总趋于确定的极限，这时我们称此极限为函数在区间上的定积分（简称积分），记作，即　　　　　　　　　　　　　　（２）其中

7、叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间，和通常称为的积分和．　　如果函数在区间上的定积分存在，我们也称在上可积．注意　当的极限存在时，其极限仅与被积函数及积分区间有关，如果既不改变被积函数也不改变积分区间，不论把积分变量改成其它任何字母，如或，此和的极限都不会改变，即定积分的值不变．就是．这个结果也说成是定积分的值与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的符号无关．下面我们给出两个函数在区间上可积的充分条件．定理１　设在区间上连续，则在