高三数学大一轮复习讲义 第3章 导数的综合应用学案 苏教版 .doc

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1、学案15　导数的综合应用导学目标：1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题．自主梳理1．已知函数单调性求参数值范围时，实质为恒成立问题．2．求函数单调区间，实质为解不等式问题，但解集一定为定义域的子集．3．实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解．自我检测1．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为________．2．(2011·扬州模拟)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数

2、，g(x)≠0，f′(x)g(x)0，且a≠1)，＋＝，则a的值为____________．3．(2011·厦门质检)已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m为________．4．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为______________．5．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．探究点一　讨论函数的单调性例1　已知函数f(x)＝x2

3、e－ax(a>0)，求函数在[1,2]上的最大值．变式迁移1　设a>0，函数f(x)＝.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间[a,2a]上的最小值．探究点二　用导数证明不等式例2　已知f(x)＝x2－alnx(a∈R)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x>1时，x2＋lnxln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.探究点三　实际生活中的优化问题例3　某分公司经销某种品牌产品

4、，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．变式迁移3　甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方

5、S元(以下称S为赔付价格)．(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？转化与化归思想例　(14分)(2010·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；(2)证明：(x－1)f(x)≥0.【答题模板】(1)解　∵f′(x)＝＋lnx－1＝lnx＋，x>0，[2分]

6、∴xf′(x)＝xlnx＋1.由xf′(x)≤x2＋ax＋1，得a≥lnx－x，令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝－1，[5分]当00；当x>1时，g′(x)<0，∴x＝1是最大值点，g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1，∴a的取值范围为[－1，＋∞)．[8分](2)证明　由(1)知g(x)＝lnx－x≤g(1)＝－1，∴lnx－x＋1≤0.(注：充分利用(1)是快速解决(2)的关键．)[10分]当0

7、0.[12分]当x≥1时，x－1>0，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝lnx＋xlnx－x＋1＝lnx－x≥0，∴(x－1)f(x)≥0.综上，(x－1)f(x)≥0.[14分]【突破思维障碍】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想．通过转化，本题实质还是利用单调性求最值问题．1．求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围．若已知函数单调性求参数范围时，隐含恒成立思想．2．利用导数解决

8、生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x