高中数学《向量的线性运算》素材2 苏教版必修4.doc

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1、初学平面向量的五大认识误区　　向量是同学们接触到的一个全新的概念，对于初学者来说，会有许多在对知识一知半解情形下产生的想当然的认识误区，在这些误区没有在我们脑海中扎根之前，我们需要尽快地走出这些误区，以便形成对向量初步的正确的认识．误区一　向量可以比较大小同学们经常混淆向量与向量的“大小”两个概念，向量是既有大小又有方向的量．向量的“大小”即向量的模是一个数量，可以比较大小，但向量的方向却无法比较大小，因此向量无法比较大小．请看下面的问题．问题1　若，则对不对？错答：对．分析：数学上研究的向量是自由向量，向量具有大小、方向两个特征．两个向量当且仅当它们的方向

2、相同，长度相等时，才称为相等的向量，不能满足上述两条件的两个向量称为不相等的向量，两个向量仅有相等与不相等之分，而无大小之分，故不对．误区二　有向线段是向量向量是既有大小又有方向的量，是既有数的构成要素又有形的构成要素的量，于是向量就用有向线段来表示．它们只是表示与被表示的关系．实际上，向量有“大小”与“方向”两个要素，即两个向量只要两个要素一样就是相等向量；而有向线段有三个要素：“起点”，“长度”与“方向”，两条有向线段，长度和方向一样，但起点不同，则它们是不同的有向线段，但却表示的是同一个向量．误区三　0与0是一样的许多人在初学向量时常把0与0混为一谈，

3、向量0表示长度为0的向量，即．它的方向是任意的，规定向量0与任意一个向量都平行．而0是一个没有方向的实数．以下几个式子都是错误的：（1）；（2）；（3）；（4）．误区四　单位向量都相等单位向量是一类特殊的向量，它们的共同特征是模都是1．但它们的方向却没有确定，因此，说单位向量都相等是错误的，它们的方向可能不同．误区五　向量平行的认识误区向量平行是向量间特殊的也是十分重要的关系，结合下面问题说明常见认识误区．问题2　与平行的单位向量的个数有多少个？错答：有与同向和反向的单位向量，共两个．剖析：当时，为2个；如果，则有无数个．问题3　若，，是否有？错答：因为两个

4、向量平行，则表示向量的有向线段也互相平行，利用直线的平行性可以传递，于是由，，可得．剖析：对于不重合的三条直线满足且，则用心爱心专心，但在平面向量中却不一定成立．如果两个向量平行，那么表示向量的有向线段不一定互相平行，也可能共线．事实上，若向量，由于零向量与任意向量都是平行向量，则与不一定平行．　　问题4　由能否得出？错答：若，则一定有，因此，可以得出．剖析：由于任何数乘以零向量都得零向量，若，显然不能得出．关注单位向量　　单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量，即是单位向量．一、若把平面上所有单位向量的起点移至同一点，则这些单位向量的终点分布在

5、同一个单位圆上．例1　若都是单位向量，且，试求的取值范围．　　解析：将的起点移至点，则它们的终点分布在单位圆上．当方向相同，如图，即点重合时，达到最大值3；当的终点均匀分布在单位圆上时，如图，取得最小值0；当的终点不重合且非均匀分布在单位圆上时，如图，．∴的取值范围是．概念辨析：单位向量的模都相等且为1，但并不是所有的单位向量都相等，因为它们的方向不一定相同．二、非零向量的单位化　　要得到与非零向量a的方向相同的单位向量e，只要将a乘以，即．这样，上题可以转化成，设向量均是非零向量，则，求的取值范围．三、单位向量的合成与平行四边形法则用心爱心专心例2　已知是

6、单位向量，求证：．解析：明确和的几何含义及，令，（如图2），由平行四边形法则及三角形法则知及分别落在菱形的两条对角线上．由菱形的性质知．∴．此外我们还可知是的平分线，即向量平分，换句话说落在的角平分线上．现在用这个结论解决下面的问题：例3　是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，即点的轨迹一定通过的（　　）Ａ．外心　Ｂ．内心　Ｃ．重心　Ｄ．垂心解析：如图3，，，平分．，，∴点落在的平分线上（点的轨迹为的平分线）．∴点的轨迹一定通过的内心，选（Ｂ）．单位向量有着多种形式：①，②，③等，丰富的数学语言是我们进行联想、发散、变式的基础，同学们要用心领悟．

7、相信随着学习的深入，大家会发现单位向量这个特殊向量的用武之地．用心爱心专心