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《2010高三数学高考萃取精华30套（2）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2010高考数学萃取精华30套（2）1．杭州二模21．(本小题满分14分)设双曲线=1(a>0,b>0)的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.(1)证明：无论P点在什么位置，总有
2、
3、2=
4、·
5、(O为坐标原点)；(2)若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；解：(1)设OP：y=kx,又条件可设AR:y=(x–a),解得：=(,),同理可得=(,),∴
6、·
7、=
8、+
9、=.4分设=(m,n),则由双曲线方程与OP方程联立解得:m2=,n2=,∴
10、
11、2=:m2+n2=
12、+=,∵点P在双曲线上，∴b2–a2k2>0.∴无论P点在什么位置，总有
13、
14、2=
15、·
16、.4分（2）由条件得：=4ab,2分即k2=>0,∴4b>a,得e>2分22.(本小题满分12分)已知常数a>0,n为正整数，fn(x)=xn–(x+a)n(x>0)是关于x的函数.(1)判定函数fn(x)的单调性，并证明你的结论.用心爱心专心(2)对任意n³a,证明f`n+1(n+1)<(n+1)fn`(n)解:(1)fn`(x)=nxn–1–n(x+a)n–1=n[xn–1–(x+a)n–1],∵a>0,x>0,∴fn`(x)<0,∴fn(x)在（0，+∞）单调递减.4分（2）由上知：
17、当x>a>0时,fn(x)=xn–(x+a)n是关于x的减函数,∴当n³a时,有：(n+1)n–(n+1+a)n£nn–(n+a)n.2分又∴f`n+1(x)=(n+1)[xn–(x+a)n],∴f`n+1(n+1)=(n+1)[(n+1)n–(n+1+a)n]<(n+1)[nn–(n+a)n]=(n+1)[nn–(n+a)(n+a)n–1]2分(n+1)fn`(n)=(n+1)n[nn–1–(n+a)n–1]=(n+1)[nn–n(n+a)n–1],2分∵(n+a)>n,∴f`n+1(n+1)<(n+1)fn`(n).2分2．杭州一模21.(本小题满分12分)已知：y=f
18、(x)定义域为［–1，1］，且满足：f(–1)=f(1)=0，对任意u,vÎ[–1，1］，都有
19、f(u)–f(v)
20、≤
21、u–v
22、.(1)判断函数p(x)=x2–1是否满足题设条件？(2)判断函数g(x)=，是否满足题设条件？解：(1)若u,vÎ[–1，1]，
23、p(u)–p(v)
24、=
25、u2–v2
26、=
27、(u+v)(u–v)
28、，取u=Î[–1，1]，v=Î[–1，1],则
29、p(u)–p(v)
30、=
31、(u+v)(u–v)
32、=
33、u–v
34、>
35、u–v
36、，所以p(x)不满足题设条件.（2）分三种情况讨论：10.若u,vÎ[–1，0]，则
37、g(u)–g(v)
38、=
39、(1+u)–(1+v)
40、=
41、u
42、–v
43、，满足题设条件；20.若u,vÎ[0，1]，则
44、g(u)–g(v)
45、=
46、(1–u)–(1–v)
47、=
48、v–u
49、，满足题设条件；30.若uÎ[–1，0]，vÎ[0，1]，则：
50、g(u)–g(v)
51、=
52、(1–u)–(1+v)
53、=
54、–u–v
55、=
56、v+u
57、≤
58、v–u
59、=
60、u–v
61、，满足题设条件;40若uÎ[0，1]，vÎ[–1，0],同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件.22.(本小题满分14分)用心爱心专心已知点P(t,y)在函数f(x)=(x¹–1)的图象上，且有t2–c2at+4c2=0(c¹0).(1)求证：
62、ac
63、³4;(2)求证：在(–1，+∞）上f(x
64、)单调递增.(3)(仅理科做)求证：f(
65、a
66、)+f(
67、c
68、)>1.证：(1)∵tÎR,t¹–1,∴⊿=(–c2a)2–16c2=c4a2–16c2³0，∵c¹0,∴c2a2³16,∴
69、ac
70、³4.(2)由f(x)=1–,法1.设–10,x2+1>0,∴f(x2)–f(x1)<0,即f(x2)0得x¹–1,∴x>–1时，f(x)单调递增.（3）（仅理科做）∵f(x)在x>–1时单调递增，
71、c
72、³>0,∴f(
73、
74、c
75、)³f()==f(
76、a
77、)+f(
78、c
79、)=+>+=1.即f(
80、a
81、)+f(
82、c
83、)>1.3．南通二模19．（本小题满分15分）设定义在R上的函数（其中∈R，i=0,1,2,3,4），当x=－1时，f(x)取得极大值，并且函数y=f(x+1)的图象关于点（－1，0）对称．（1）求f(x)的表达式；（2）试在函数f(x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；用心爱心专心（1）若，求证：解：（1）…………………………5分（2）或…………10分（3）用导数求最值，可证得……15分20．
