【金版教程】2020高考数学文二轮复习讲义 第二编 专题整合突破 专题二 函数与导数 第二讲 函数与方程及函数的应用.doc

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1、第二讲　函数与方程及函数的应用必记公式]几种常见的函数模型(1)一次函数模型：y＝ax＋b(a≠0)．(2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(3)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0且b≠1)．(4)对数函数模型：y＝blogax＋c(a>0且a≠1，x>0)．(5)分段函数模型：f(x)＝(D1∩D2＝∅)．重要性质]1．函数的零点及函数的零点与方程根的关系对于函数f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象

2、交点的横坐标．2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.这个c也就是方程f(x)＝0的一个根．失分警示]1．函数的零点不是点的坐标，而是函数值等于零的点的横坐标．2．函数零点存在性定理要求函数图象是连续不断的．并且有f(a)·f(b)<0这两个条件同时成立．3．满足零点存在性定理的条件时得出函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但零点个数不确定；反之函数在a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b

3、)<0.4．求实际问题中的函数解析式时易忽略定义域．考点　函数的零点　　典例示法题型1　判断函数零点的存在区间典例1　　2014·北京高考]已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4)D．(4，＋∞)解析]　∵f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝－log24＝－2<0，∴包含f(x)零点的区间是(2,4)，故选C.答案]　C题型2　函数零点的个数问题典例2　　2015·湖北高考]函数f(x)＝4cos2·cos

4、－2sinx－

5、ln(x＋1)

6、的零点个数为________．解析]　f(x)＝2(1＋cosx)sinx－2sinx－

7、ln(x＋1)

8、＝sin2x－

9、ln(x＋1)

10、，x>－1，函数f(x)的零点个数即为函数y＝sin2x与y＝

11、ln(x＋1)

12、(x>－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点．答案]　2题型3　利用零点个数或存在区间求参数的取值范围典例3　　2015·湖南高考]已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．解析]　令φ(x)＝x

13、3(x≤a)，h(x)＝x2(x>a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象可得a<0或φ(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．答案]　(－∞，0)∪(1，＋∞)1．判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合：对于给定的函数不能直

14、接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2．利用函数零点求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．考点　函数与方程的综合应用　　典例示法典例4　　(1)2015·江苏高考]已知函数f(x)＝

15、lnx

16、，g(x)＝则方程

17、f(x)＋g(x)

18、＝1实数根的个数为________．解析]　f(x)＋g(x)＝当1

19、f′(x)＋g′(x)＝－2x＋＝<0故当1

20、f(x)＋g(x)

21、及y＝1的图象，如图所示．由图象可知

22、f(x)＋g(x)

23、＝1的实根个数为4.答案]　4(2)已知函数f(x)＝则方程f(x)＝log(x＋1)的根的个数为________．解析]　先求x>0时，f(x)的解析式．当0

24、得，f(x)＝方程f(x)＝log(x＋1)的根的个数，即是函数y