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1、第一章基础知识：时域离散随机信号分析§1.1随机序列与随机矢量1.1.1时域离散随机信号(随机序列)1.随机序列的特征:随机序列是所有可能的随机变量的集合,其特征是:●幅度和时间均取离散值。其中离散时间用序号表示；●每个时间点上的信号取值是随机的,不可预测。1随机变量和随机过程及其样本2.符号与意义:2注意:为方便计，以下讨论有时用或表示随机序列或随机变量；将样本序列简单表示为:;;…;;…根据随机过程的定义，一个随机序列就是一个随机过程。31.1.2随机矢量随机矢量，是有限维或无限维随机变量的集合，表示为:其中，表示随机变量在时间的样本值。有限维(维
2、)随机矢量：常用：一维；二维。4§1.2随机序列的统计描述随机变量取值是随机的，但其统计特性(包括概率特性和统计平均特性)是确定的，因此时域可用其特性量表征；频域用功率谱表征。5●二维:描述随机序列中两个时间点(与)上的随机变量与之间的关系，即上式含义:与点的随机变量与，其取值同时满足及的概率,亦称“二维联合概率分布函数”。1.2.1概率描述1.概率分布函数●一维:描述随机序列在某一时刻的统计特性,即上式含义：随机变量在点上取值不超过的概率。62.概率密度函数●一维:设取连续值,则一维概率密度函数定义为:(1.2.3)因此，可等价表示为：式中，是在范围
3、到内，取值的微概率。●二维:对于连续变量和,其二维概率密度函数为：(1.2.4)7说明:概率分布函数可完整地描述随机序列,但实际中却很难得到。而随机序列的数字特征（统计平均值，方差，相关函数等）比较容易测量和计算。因此常用这些数字特征描述随机序列。81.2.2随机序列的数字特征1.数学期望(统计平均值,一阶原点矩)●定义：(1.2.5)●意义:表示随机过程的全部样本在同一时刻(点)随机变量取值的中心(统计平均值)。随机变量在n时刻的取值取值区间[x,x+x]上的微概率(密度函数)92.均方值与方差（1）均方值(二阶原点矩)●定义:(1.2.6)●意义
4、:如果代表电流或电压,均方值则表示在时刻消耗在1电阻上的集合平均功率。（2）方差(二阶中心矩)●定义:(1.2.7)有时将x称为标准方差10●意义:方差表示取值的分散程度（或偏离中心值的大小）。如果代表电流或电压,方差则表示消耗在1电阻上的交变功率的集合平均.3.相关函数与协方差函数（1）自相关函数(二阶联合原点矩)●定义:(1.2.8)式中的“*”表示复共轭。●意义:反映同一随机序列在不同时刻取值的关联程度。11（2）自协方差函数(二阶联合中心矩)●定义:(1.2.9)或者表示为：(1.2.10)若,则(1.2.11)即对零均值随机序列,自相关
5、函数与自协方差函数相等。●意义:反映同一随机序列在不同时刻取值偏离中心值的关联程度。12（3）互相关函数●定义:(1.2.12)●意义:描述两个随机序列在不同时刻取值的关联程度.（4）互协方差函数●定义:(1.2.13)当时，有(1.2.11)●意义:描述两个随机序列在不同时刻取值偏离中心值的关联程度。131.2.3平稳随机序列及其数字特征1.何谓平稳随机序列?平稳随机序列的统计特性不随时间的平移而变化.●狭义(严)平稳随机序列:其维概率分布函数满足：(1.2.12)即这类平稳随机序列的维概率分布函数与的起始位置无关.实际很难实现狭义(严)平稳随机序列
6、将随机序列在时间上平移k,其统计特性不变,意味着与时间起点无关14●广义(宽)平稳随机序列:均值和均方差不随时间改变,其相关函数仅是时间差的函数.下面重点研究广义平稳随机序列,并简称为“平稳随机序列”.2.实平稳随机序列的数字特征（1）与时间无关的数字特征：●均值:(1.2.13)●均方值:(1.2.14)15●方差:(1.2.15)（2）与起始时间无关,仅与时间差有关的数字特征●自相关函数:(1.2.16a)或(1.2.16b)16●自协方差函数:(1.2.17)●互相关函数:或(1.2.18)●互协方差函数:(1.2.19)173.实平稳随机序列的
7、相关函数,协方差函数的性质（1）是的偶函数:(1.2.20)(1.2.21)（2）的值等于随机序列的平均功率:(1.2.22)参见：[1]王永德.随机信号分析基础(第二版).p46,p49[2]王宏禹.随机数字信号处理.p418（3）(1.2.23)（4）随着时间差的增大,随机序列内部的相关性减弱:(1.2.24)(1.2.25)（5）(1.2.26)(1.2.27)194.平稳随机序列互为正交与互不相关条件（1）正交对于所有的,若满足:,则称两个随机序列相互正交.（2）不相关于所有的,若满足:,,则称两个随机序列互不相关.[小结]对于平稳随机序列,其
8、数字特征中最主要的是自相关函数.表现为:问题:解释正交条件和互不相关条件.20●时,均方值；●
