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时间:2020-06-26
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1、1.有一均匀杆,只要杆中任一小段有纵向位移或速度,必导致邻段的压缩或伸长,这种伸缩传开去,就有纵波沿着杆传播。试推导杆的纵振动方程。解:如图1,假设,AB段的运动导致邻段受拉。图中均匀杆选取AB小段,在纵向速度v作用一微小时间段dt后,运动到另一位置。u(x,t)为均匀杆上各质点的位移函数。如图2,对AB段进行受力分析知,AB段在左、右两端的拉力、和其本身的惯性力的作用下平衡,即三者合力为零。(1)(2)(3)(4)上式中,S为杆的横截面积,E为杆的弹性模量,为杆密度。将式(1)、(2)、(3)代入式(4)得,(5)即(6)当dx趋于0时,有(7)即(
2、8)式(8)即所求的纵振动方程。2.混凝土内部储藏着热量,称为水化热,在它浇筑后逐渐释放,放热速度和它所储藏的水化热成正比。以Q(t)表示它在单位体积中所储存的热量,Q0初始时刻所储存的热量,则dQ/dt=-βQ,其中β为正常数。又假设混凝土的比热为c、密度为ρ,热传导系数为k,求它在浇筑后温度u满足的方程。解:由已知得,混凝土单位体积所存储的热量与时间的关系式:(1)变形得:(2)对式(2)求不定积分,得:+C1(3)当t=0时,Q=Q0,代入式(3),得:C=Q0。从而,混凝土单位体积存储的能量与时间的关系式为:(4)根据课件中“热传导方程”的求解
3、,单位时间内流入体积V区域中的净热量为:(5)以为研究对象,则:①单位时间流入dv的静热量为:(6)②由于混凝土中放出水化热,则在dv中存在热源,其单位时间于dv内放出的热量为:(7)(6)从而,单位时间内dv增加的热量为:(8)又由于热力学第一定律,在单位时间内在dv内热量净增加为:(9)式(9)改写成:(10)式(8)和式(10)相等,得:(11)式(11)即所求的温度方程。
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