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时间:2020-06-18
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1、3.△对数频率稳定判据1.Nyquist稳定判据的数学基础5-4频率域稳定判据(1)幅角原理(2)复变函数F(s)的选取(3)S平面闭合曲线Γ的选取(4)绘制开环传递函数G(s)的闭合曲线ΓG(5)闭合曲线ΓF包围原点的圈数R计算2.☆Nyquist稳定判据1.Nyquist稳定判据的数学基础5-4频率域稳定判据设F(s)是复变量s的单值有理函数,Γ是S平(1)幅角原理曲线)在F(s)平面上的象轨迹是一条闭合曲线ΓF,面上一条不经过F(s)的极点和零点的简单闭合曲R=P-Z,线。曲线ΓF包围F(s
2、)平面原点的圈数为式中P是曲线Γ包围的F(s)极点个数;Γ包围的F(s)零点个数;包围原点R次,R次,Z是曲线R>0表示曲线ΓF逆时针R<0表示曲线ΓF顺时针包围原点R=0表示曲线ΓF不包围原点;S平面上的点s沿曲线Γ顺时针运动一周,(Γ说明:S平面上的点s在F(s)平面上的象为F(s),否则值为0。现在,关注相角变化情况,的位置不同而不同;因逆时针一周为,即R=P–Z。s沿曲线Γ顺时针运动一周,△∠(s-x)的值因x若x被曲线Γ包围值为零点必须都在S平面的左半部;F(s)的极点也就(2)复变函数
3、F(s)的选取要求闭环系统稳定,则闭环极点,即F(s)的已知开环传递函数G(s)H(s)为则征多项式为F(s)=1+G(s)H(s),另一种形式为是开环极点未被限制,影响闭环系统稳定性。k为在原点处的极点个数;(3)S平面闭合曲线Γ的选取因为F(s)的零点都在点,同样以无穷小半径的右半圆弧绕过极点。在S平面上选取的闭合曲线Γ为:包围整个S平面右半部的闭合曲线Γ;极点,闭合曲线以无穷小半径的右半圆弧绕过原点,对应的象是半径无穷大的圆弧,弧度为若在原点处有开环的闭合曲线Γ只包围F(s)部的P个开环极点
4、。S平面的左半部,所选取在S平面右半部的极点,也就是F(s)在S平面右半jωσ[S]0若在虚轴上有共轭极只是F(s)平面原点等价于G(s)平面上的(-1,j0)点。(4)绘制开环传递函数G(s)的闭合曲线ΓG(即幅相曲线,Nyquist曲线。)轴对称,则闭合曲线ΓG在平面上也关于实轴对由于所选取的闭合曲线Γ在S平面上关于实通常,只需绘制ω:0+→∞的半条ΓG曲线。(5)闭合曲线ΓF包围原点的圈数计算考虑到F(s)=1+G(s),在G(s)平面上的闭合曲线ΓG与F(s)平面的闭合曲线ΓF形状完全相同
5、。点的次数。或等于半条ΓG包围(-1,j0)点的次数这样,ΓF包围原点的次数R等于ΓG包围(-1,j0)乘2。图5-32(a)v=0:P=0;R=-2;Z=2。闭环系统不稳定。0+0--∞∞K-10N+:正穿越,相角增大;(-∞,-1)N-:负穿越,相角减小;R=2N=2(N+-N-);N+N-图5-32(b)v=1:P=0;R=0;Z=0。-10∞0+0--∞闭环系统稳定。图5-32(c)v=2:P=0;R=0;Z=0。-10闭环系统稳定。0+∞R=2(N+-N-)=2(1-1)=0;图5-32
6、(d)v=0:0+0--∞∞K-10R=2(N+-N-)=2(0.5-1)=-1;图5-32(e)v=4:R=2(N+-N-)=2(0-1.5)=-3;-10∞0+0--∞反馈控制系统稳定的充分必要条件是:闭合2.Nyquist稳定判据系统在S平面右半部的开环极点个数P。曲线ΓG逆时针包围临界点(-1,j0)的次数R等于(若曲线ΓG穿过(-1,j0)点,系统可能是临界简记:R=P。稳定的,工程上认为系统是不稳定的。)例5-8已知负反馈系统开v=1)如图5-33所示,试确定闭环系统稳定时K值的范围。
7、环幅相曲线(K=10,P=0,jωσ[S]0-2-0.5-1-1.5图5-33解:K=10时,开环幅相曲线与负实轴的交点依次为,系统稳定。K值变化只改变图形大小,不改变图形形状。该系统有三个临界稳定的开环增益分别记为jωσ0-2-1-1.5R=2(N+-N-)=2(1-1)=0;R=P;K1、K2和K3。即jωσ0-2-0.5-1-1.5jωσ0-2-1-3当K=K1时,则有K1/10=1/2;K1=5;当K=K2时,则有K2/10=1/1.5;K2=20/3;当K=K3时,则有K3/10=1/0
8、.5;K3=20;020,R=-2,闭环系统不稳定。例5-9已知延迟系统开环传递函数为解:由于该延迟系统的相角、幅值都是递减的,确定使闭环系统稳定的τ值范围。只有N-为零,闭环系统才能稳定。实轴有无穷多个交点,但交点逐渐接近原点。临界稳定的τ值使幅相曲线首次与负实轴相交在临界点(-1,j0)。结论:τ<1.2092时,闭环系统稳定。计算临界稳定的τ值:幅相曲线与
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