选修系列球面上的几何.ppt

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1、江西师范大学数信学院球面上的几何13学科数学：陈杰华球面上的几何非欧几何简史1课程标准解读2细说球面几何3非欧几何简史非欧几何简史：1.为什么学习球面几何？2.球面几何发展史.航海卫星定位天体观测大地测量航空非欧几何简史实际生活的需要非欧几何简史黎曼罗巴切夫斯基鲍耶高斯普莱菲尔萨开里欧几里德公元前300年，欧几里德创作了《几何原本》，其中在几何方面提出五条公设，第五条“若一条直线与另外两条直线相交且使其一钡(的内角和小于两个直角,则该两条直线在该侧延长后必相交”。1795年苏格兰数学家、物理学家普莱菲尔提出

2、一条跟欧氏第五公设等价的命题,过己知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行.也叫作普莱菲尔公设.德国大数学家高斯1817年,他确信第五公设独立于其他公设,并开始得到了一系列非欧几何结论,但是高斯(由于哲学观点的原因)没有发表他的倒可证明与结论.匈牙利数学家鲍耶1823年写成了摈弃第五公设的《空间的绝对几何学》,给他父亲的信中叙述了自己对第五公设问题的研究,两年后发表在他父亲一本书的附录中,其主要结论是首次说明可能存在一种全新的几何.俄罗斯数学家罗巴切夫斯基采用了欧氏几何学除第五公设以外的所有公设,他把欧

3、几里德的第五公设放到一边,提出了另外一个公设:过已知直线外的一个已知点至少可以作两条直线和己知直线平行。证明了三角形的内角之和小于180。1854年德国数学家黎曼空间由“长度”决定。把欧氏几何学的第一,第二,第五公设修改为:1.两个不同的点至少确定一条直线。2.直线是无界的。5.平面上的倒可两条直线都直交。证明了三角形的内角之和大于180。非欧几何简史项目欧氏几何罗氏几何黎曼几何两条不重合直线的相交情况至多一个点至多一个点一个或两个给定一直线,与已知直线平行的条数唯一一条至多两条没有两条平行线等距不等距不存

4、在如果一条直线与两平行线中一条相交，则与另一条必相交不一定不存在垂直于同一条直线的不同直线的关系彼此平行平行相交三角形的内角和等于180°小于180°大于180°三角形的面积与其内角和的关系无关反比反比对应角相等的两个三角形的关系相似全等全等课程标准解读课程标准解读课程标准解读课程标准解读课程标准解读细说球面几何欧拉公式球面三角形的性质23球面上的基本定义1球面上的基本定义定义1三维空间中与一个定点O的距离等于r的点的轨迹叫做球面。定点O叫做球心，等距离的长度r叫做球的半径（或者半径为r的半圆绕直径旋转一周

5、所得旋转面叫做球面)，通常把半径长度为1的球面叫单位球面P定义2如果直线l与球面S相切，它们有唯一公共点，则这公共点P为切点定义3如果直线与球面S相交，则它们交于两点，当直线经过球心时，这两个交点称为对径点，譬如A、A'定义4通过球心的平面截球面所得截口是一个圆，它叫做大圆；不过球心的平面截球面所得的截口也是一个圆，它叫做小圆。球面上的基本定义定义5过球面上两点的大圆叫做这两点的球面直线，过球面上两点的大圆的劣弧叫做连接这两点的线段，即这两点的球面距离球面上的基本定义定义6设c是球面上的一个大圆，则在球面上

6、存在一对对径点P和P’,使得直径PP’垂直大圆c所在平面，我们把对径点P、P’叫做大圆c的极点球面上的基本定义定义6设P是球面上任意一点，P’是它的对径点,那么存在唯一一个大圆，使得P、P’是大圆c的极点，我们把大圆c叫做点P的极线球面上的基本定义定义7两大圆相交所成之角，叫做球面角。其交点叫做球面角的顶点，大圆弧叫做这球面角的边。一般，球面角是以过顶点的圆弧的二切线所夹的角来度量的球面上的基本定义注重定义8球面上相交于三点的三个大圆弧所围成的球面上的一部分,叫做球面三角形.这三个大圆弧叫做球面三角形的边.

7、通常用小写拉丁字母a,b,c来表示.各大圆弧所成的球面角，叫做球面三角形的角，通常大写拉丁字母A,B,C来表示.这三个边与三个角统称为球面三角形的六个元素.球面三角形的性质注重注重定义9在同球或等球面上，若两球面三角形的对应边和角分别相等，而且排列顺序相同，则称这两个球面三角形全等.球面三角形的性质球面三角形的全等判定定理1如果两个球面三角形的三对边对应相等，则这两球面三角形相等，即全等或对称（SSS）。推论如果两个球面三角形的三对角对应相等，则这两球面三角形相等，即全等或对称（AAA）。定理2如果两个球面

8、三角形有两对边对应相等，并且它们的夹角也相等，则这两球面三角形相等，即全等或对称（SAS）。推论如果两个球面三角形有两对角对应相等而且它们的夹边也对应相等，则这两球面三角形相等，即全等或对称（ASA）。球面三角形的性质球面三角形的性质欧拉公式THEENDTHANKYOU!