2019版高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程学案.doc

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1、第2讲　参数方程板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点1　参数方程的概念　在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数(*)，如果对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数．考点2　直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程(t≥1)表示的曲线为直线．(　　)(2)直线y＝x与曲线(α为参数)的交点个数为1.(

2、　　)(3)直线(t为参数)的倾斜角α为30°.(　　)(4)参数方程表示的曲线为椭圆．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．已知圆的参数方程(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3ρcosα－4ρsinα－9＝0，则直线与圆的位置关系是(　　)A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心答案　D解析　圆的普通方程为x2＋y2＝4，直线的直角坐标方程为3x－4y－9＝0.圆心(0,0)到直线的距离d＝＝<2，所以直线与圆相交．显然直

3、线不过原点(0,0)，故选D.3．[2018·安徽模拟]以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为(　　)A.B．2C.D．2答案　D解析　由题意得直线l的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.则圆心到直线的距离d＝，故弦长＝2＝2.4．[2018·湖南模拟]在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点

4、，则常数a的值为________．答案　3解析　由题意知在直角坐标系下，直线l的方程为y＝x－a，椭圆的方程为＋＝1，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a，所以a＝3.5．[2018·天津模拟]已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若

5、EF

6、＝

7、MF

8、，点M的横坐标是3，则p＝________.答案　2解析　由参数方程(t为参数)，p>0，可得曲线方程为y2＝2px(p>0)．∵

9、EF

10、＝

11、MF

12、，且

13、MF

14、＝

15、ME

16、(抛物线

17、定义)，∴△MEF为等边三角形，E的横坐标为－，M的横坐标为3.∴EM中点的横坐标为，与F的横坐标相同．∴＝，∴p＝2.6．[2015·湖北高考]在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则

18、AB

19、＝________.答案　2解析　因为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，所以ρsinθ＝3ρcosθ，所以y＝3x.由消去t得y2－x2＝4.由解得或不妨令A，B，由两点间的

20、距离公式得

21、AB

22、＝＝2.板块二　典例探究·考向突破考向　参数方程与普通方程的互化例　1　[2017·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，.(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d

23、＝＝，当a≥－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝8；当a＜－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.触类旁通将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．【变式训练1】　[2018·湖南长郡中学模

24、拟]已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值．解　(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1，C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝时，P(－4,4)，又Q(8cosθ，3sin