2018版高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理（二）学案 苏教版必修5.doc

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1、1.1正弦定理（二）学习目标　1.能根据条件，判断三角形解的个数.2.能从实际问题中抽象出三角形问题并予以解决.3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题．知识点一　正弦定理的常见变形1．sinA∶sinB∶sinC＝________.2.＝＝＝＝________.3．a＝________，b＝________，c＝________.4．sinA＝________，sinB＝________，sinC＝________.知识点二　判断三角形解的个数思考1　在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的个数．　　　梳理　已知三角

2、形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一．例如，在△ABC中，已知a，b及A的值．由正弦定理＝，可求得sinB＝.在由sinB求B时，如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一；如果a

3、sB＝bcosA．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?　　梳理　一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端．正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系．所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来．简称边角互化．类型一　判断三角形解的个数例1　在△ABC中，已知a＝20cm，b＝28cm，A＝40°，解三角形(角度精确到1°，边长精确到1cm)．引申探究若例1中b＝28cm，A＝40°不变，当边a在什么范围内取值时，△ABC有两解？(范围中保留sin40°)　　　　　　　反思与感悟　已知两边和其中一边的对角解

4、三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，即是所求．跟踪训练1　已知一三角形中a＝2，b＝6，A＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．　　　　　　类型二　正弦定理在实际生活中的应用例2　如图，一渔船在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在船的东北方向，若船速为每小时30nmile，半小时后在B处望见灯塔在船的北偏东30°，当船行至D处望见灯塔在船的西北方向时，求

5、A、D两点之间的距离(精确到0.1nmile)．　　　　　　反思与感悟　在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．跟踪训练2　一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔间的距离为________km.类型三　正弦定理与三角变换的综合例3　已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＋c＝2b,2cos2B－8cosB＋

6、5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状．　　　　　反思与感悟　借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式．跟踪训练3　已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，其中a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状．　　1．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则角C的值为________．2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔

7、的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/时．3．已知△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，则满足条件的三角形有________个．4．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求的值．　　　1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．2．用正弦定理解决实际问题时，首先根据条件画出示意图，并特别注意诸如“仰角”、“俯角”

8、“北偏东30°”之类术语的准确理解；然后分析解三角形已有哪些条件，要求什么，还缺什么，如何利用正弦定理及三角知识达到目标．