2018年高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和学案 理.doc

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1、§6.2　等差数列及其前n项和考纲展示►　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.考点1　等差数列的基本运算1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差等于________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母________表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．(2)等差中项若三个

2、数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.答案：(1)2　同一个常数　d2．等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是________．(2)等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋d或Sn＝.答案：(1)an＝a1＋(n－1)d(1)[教材习题改编]已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为________．答案：52(2)[教材习题改编]在100以内的正整数中有________个能被6整除的数．答案：16知三求二．等差数列中，有五个基本量，a1，d，n，an

3、，Sn，这五个基本量通过________，____________联系起来，如果已知其中三个量，利用这些公式，便可以求出其余两个的值，这其间主要是通过方程思想，列方程组求解．答案：通项公式　前n项和公式[典题1]　(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝(　　)A．－6　　B．－4　　C．－2　　D．2[答案]　A[解析]　解法一(常规解法)：设公差为d，则8a1＋28d＝4a1＋8d，即a1＝－5d，a7＝a1＋6d＝－5d＋6d＝d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6.解法二(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质，可得S8＝4(a3＋a6)，又

4、S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.(2)[2017·河北武邑中学高三期中]等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－9，－＝2，则S10＝(　　)A．0　　B．－9C．10　　D．－10[答案]　A[解析]　因为是等差数列，且公差为d＝1，故＝＋1×(10－1)＝－9＋9＝0，故选A.(3)[2017·河北唐山模拟]设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.[答案]　30[解析]　解法一：设数列{an}的首项为a1，公差为d，由S3＝6，S4＝12，可得解得则S6＝6a1＋15d＝30.解法二：∵等差数列

5、{an}，故可设Sn＝An2＋Bn，由S3＝6，S4＝12，可得解得即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30.[点石成金]　等差数列运算的解题思路及答题步骤(1)解题思路由等差数列的前n项和公式及通项公式可知，若已知a1，d，n，an，Sn中的三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．(2)答题步骤步骤一：结合所求结论，寻找已知与未知的关系；步骤二：根据已知条件列方程求出未知量；步骤三：利用前n项和公式求得结果．考点2　等差数列的判断与证明　　　　　　　　　　　　　　　　等差数列的概念的两个易误点：同一个常数；常数.(1)在数列{an}中，若

6、a1＝1，an＋1＝an＋2，则该数列的通项公式为an＝__________.答案：2n－1解析：由an＋1＝an＋2，知{an}为等差数列，其公差为2，故an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)若数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝n，则数列{an}的通项公式为an＝__________.答案：1＋解析：由an＋1－an＝n，得a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，an－an－1＝n－1，各式相加，得an－a1＝1＋2＋…＋n－1＝＝，故an＝1＋.[典题2]　若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：是等差数列；(2)求数列

7、{an}的通项公式．(1)[证明]　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2.又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．(2)[解]　由(1)，可得＝2n，∴Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.当n＝1时，a1＝不适合上式．故an＝[题点发散1]　若将母题条件变为：数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，2Sn－nan＝n.求证：{an}为等差数列．证明：∵2Sn－nan＝n，①