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时间:2020-06-23
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1、圆锥曲线中点弦公式抛物线中点弦公式 抛物线C:x^2=2py上,过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为:py-αx=pβ-α^2。 中点弦存在的条件:2pβ>α^2(点P在抛物线开口内)。椭圆中点弦公式 椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1上,过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为: αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。 中点弦存在的条件:α^2/a^2+β^2/b^2<1(点P在椭圆内)。双曲线中点弦公式 双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1上,过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为: αx/a^2-βy/b^2=α^2/
2、a^2-β^2/b^2。 中点弦存在的条件:(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0(点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内)。二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理 蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理,它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性.不少中数专著或杂志至今还频繁讨论.本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系,并给出统一而简明的证明,指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式. 引理:设两条不同的二次曲线 S:F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 有A、B、C、D四个公共点,其中无三点共线,则过A、B、
3、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成: (证明略) 定理1设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点,其中无三点共线;又直线L0被S、S1、S2各截得一弦.若其中两弦中点重合,则第三弦中点亦重合. 证设S、S1的方程为(1)、(2),则S2方程可表为(3).因直线L0(设斜率为k)关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为: L:(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x,y)=0 因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O,显然L2也必通过点O,故O也是L0被S2所截得的弦GH的中点. 注两直线A
4、B和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲线S1的特殊情形,甚至E和F重合于O.故本定理包括了蝴蝶定理众多情形. 定理2设AB∥CD,S和S1是过A、B、C、D四点的任意两条二次曲线.若平行于AB的任意直线与S、S1各有两个交点,则夹在两曲线之间的两线段相等. 证设AB、CD的中点分别为M、N,又AB∥CD,故直线MN就是AB关于S和S1的共轭直径,故若平行于AB的任意直线被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中点O,故有PE=QF,命题得证. 注由于PQ可为AB与CD之间任意平行弦,皆有PE=QF,故夹在S和S1之间的两曲边区域△1和△2面积相等.[1]它酷似蝴蝶两翼,不过并非轴对称,
5、而是沿AB方向共轭.如果世上真有这样的蝴蝶,飞行亦能平衡自如. 定理1还可推广得到更一般的结论. 定理3若三条不同的二次曲线S、S1、S2有无三点共线的四个公共点,沿某一确定方向的任意直线L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF、GH,则三弦中点O、O1、O2之间有向线段之比为常数. 证不妨取坐标系使确定方向为x轴.于是该方向(k=0)关于S、S1、S2的共轭直径分别为(参见定理1): L:a11x+a12y+a13=0 L1:b11x+b12y+b13=0 L2:(a11x+a12y+a13)+λ(b11x+b12y+b13)=0 设直线L0方程为y=y0,PQ、EF、GH的中
6、点为O(x0,y0),O1(x1,y0),O2(x2,y0),于是由直径方程知: a11x0+a12y0+a13=0,b11x1+b12y0+b13=0 (a11x2+a12y0+a13)+λ(b11x2+b12y0+b13)=0 故a11(x2-x0)=λb11(x2-x1)(4) 即OO2/O2O1=α(a11≠0时)(5) 其中α=-λb11/a11是与y0无关的常数(由S、S1、S2三曲线确定.当a11=0时,L∥L0可知L0与S无两个交点,故不在本命题讨论之列). (5)式意即:在指定顺序O、O2、O1之下,两有向线段之比不因L0平行移动而变化. 推论在定理3条件下,对
7、任意直线L0所截的三弦中点中,任意两点总在第三点同侧或异侧.当O、O1、O2中有两点重合时,第三点也重合.“蝴蝶定理”虽然如自然界的蝴蝶种类一样千变万化,然而万变不离其宗,核心在于中点弦性质.
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