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《matlab曲线拟合人口增长模型及其数量预测.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、实验目的[1]学习由实际问题去建立数学模型的全过程；[2]训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题；[3]应用matlab软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计matlab程序来求解其中的数学模型；[4]提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力；通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。应用实验（或综合实验）一、实验内容从1790—1980年间美国每隔10年的人口记录如表综2.1所示：
2、表综2.1年份1790180018101820183018401850人口(×106)3.95.37.29.612.917.123.2年份1860187018801890190019101920人口(×106)31.438.650.262.976.092.0106.5年份193019401950196019701980人口(×106)123.2131.7150.7179.3204.0226.5用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国2010年的人口数量。二、问题分析1：
3、Malthus模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为r。记时刻t的人口为x(t），（即x(t）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x0，于是得到如下微分方程：2：阻滞增长模型（或Logistic模型）由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x的减函数，如设r(x)=r(1-x/xm)，其中r为固有增长率(x很小时)，xm为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程：三、数学模型的建立与求解根据Malthus模型的基本假设，和Logistic模型，我们可以分别求得微分方程的解析解，y1
4、=x0*exp(r*x);y2=xm/(1+x0*exp(-r*x))对于1790—1980年间美国每隔10年的人口记录，分别用matlab工具箱中非线性拟合函数的命令作一般的最小二乘曲线拟合，可利用已有程序lsqcurvefit进行拟合，检验结果进一步讨论模型的改进，预测美国2010年的人口数量。四、实验结果及分析对于Malthus模型作一般的最小二乘曲线拟合，可利用已有程序lsqcurvefit得到拟合函数为y=(3.54e-011)*exp(0.0149*x),当x=2010时，预测的人口为359.4916178018001820184018601880
5、19001920194019601980050100150200250xyfittedcurve由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，运用Logistic模型对微分方程的解进行拟合，得到y2=360.4/(1+53.11*exp(-0.02342*(x-1790)))到2010年时，预计人口数量为y2=275.6894，作图可以看出两条曲线拟合程度较高相比基本模型，改进模型更接近实际。五、附录（程序等）Malthus模型1、编写拟合函数的文件fitful2.mfunctiony=fitful2(a,x)y=a(1).*e
6、xp(a(2).*x);2、运行的脚本文件clc,cleara0=[50,0.02];xdata=[1790:10:1980];ydata=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5];[a,resnorm,residual,flag,output]=lsqcurvefit('fitful2',a0,xdata,ydata)xi=[1790:10:1980];yi=fitful2(a,xdata)plot(xdata,ydata,'r-
7、o',xi,yi,'b-+')xlabel('x'),ylabel('y=f(x)');Logistic模型程序：x=[1790:10:1980]';y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5]';st_=[500300.2];ft_=fittype('a/(1+b*exp(-k*(x-1790)))',...'dependent',{'y'},'independent',{'x'},...'coefficients',{'a','
8、b','k'});cf_=fit(x,
