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1、第四节最大公约数和最小公倍数的求法及应用１、公约数；最大公约数；最大公约数性质；２、公倍数；最小公倍数；最小公倍数性质；３、质数与合数；分解质因数的方法。复习[定理1]一个大于1的整数b整除另一个自然数a的充要条件是：b的每一个质因数都是a的质因数；并且b里任何一个相同质因数的个数，都不超过a里该质因数的个数。一、最大公约数的求法1、用分解质因数的方法求最大公约数求几个数最大公约数的方法：把这几个数分别分解质因数，再把几个数公有的一切质因数连乘起来。例1求2700、7560、3960的最大公约数解：得:2700＝22×33×52,7
2、560＝23×33×5×7,3960＝23×32×5×11∴（2700，7560，3960）＝22×32×5＝180书写简便形式∴（2700，7560，3960）＝22×32×5＝180用分解质因数法求各组数的最大公约数（1）36和48（2）64和72（3）4、12和42（4）112、124和420练习一[定理2]如果第一个数能被第二个数整除，那么这两个数的最大公约数就是第二个数。如果b│a,那么（a,b）=b[定理3]如果第一个数除以第二个数，余数不等于零，那么这两个数的最大公约数就是第二个数与这个余数的最大公约数。如果a÷b=q
3、(余r)(r≠0)，则（a,b）＝（b,r）.2、用辗转相除法求最大公约数例如527÷102＝5（余17）,∵(527,102)＝(102,17)又∵17│102，∴ （102，17）＝17.因此 （527，102）＝17.设a＞b,当b│a时，那么（a、b）＝b；当ba时，有余数r1，那么（a、b）=(b、r1).当r1│b时，那么（b,r1）=r1；当r1b时，有余数r2，那么（b,r1）=(r1,r2).依次除下去，余数逐渐减小（b＞r1＞r2＞…＞rn）,必能得到一个rn＝0，这时，rn-1│rn-2，∴（rn-1,rn-2
4、）＝rn-1.由此得出：（a,b）=(b,r1)=(r1,r2)=……=(rn-1,rn-2)=rn-1.这种方法叫做辗转相除法（也叫做欧几里得算法）。例2求（319，377）.解：∵377÷319＝1（余58），∴（377，319）＝（319，58）；∵319÷58＝5（余29），∴（319，58）＝（58，29）；∵58÷29＝2（余0），∴（58，29）＝29；∴（319，377）＝29。可以用下面的简便形式来求（319，377）.1319（b）377（a）290319229（r2）58（r1）5580（r3）∴（319，37
5、7）＝29，例3求（418，494，589）.解：先求得（418，494）＝38，再求得（38，589）＝19，∴（418，494，589）＝19用辗转相除法求下列各组数的最大公约数（1）49和91（2）391和299（3）252和180（4）4935和13912练习二例1求96、30和132的最小公倍数。解：96＝25×3；30＝2×3×5；132＝22×3×11；∴[96，30，132]=25×3×5×11＝5280二、最小公倍数的求法1、用分解质因数求最小公倍数∴[96，30，132]＝22×3×8×5×11＝5280书写简便
6、形式求最小公倍数的方法可以先取出它们公有的一切质因数（可以从小到大依次取），再取出其中的几个数（可以用依次去掉一个数的方法来检验）公有的质因数，然后把所取出的公有的质因数和每个数所有的因数连乘起来。∵[a,b]•(a,b)=a•b,∴[a,b]=ab÷(a,b).求两个数的最小公倍数，可以用两个数的最大公约数，除两个数的积，所得的商就是这两个数的最小公倍数。2、利用最大公约数求最小公倍数例2求[105,42].解：∵（105,42）=21,∴[105,42]=105×42÷21=210.1、用分解质因数法求下列各组数的最小公倍数。（
7、1）36和48（2）64和72（3）4、12和42（4）112、124和4202、用求最大公约数法求下列各组数的最小公倍数；（1）185和338（2）46和2403、指出小明在求三个数的最小公倍数时的错误，并对他作正确的解释。∴[12，18，24]＝22×32×4＝144.练习三例1某班学生自制教具，把长144厘米、宽48厘米、厚32厘米的长方体木料，锯成尽可能大的同样大小的正方体木块，求正方体木块的棱长和锯成的块数（锯完之后原木料没有剩余。）解：正方体木块的每条棱长是（144，48，32）＝16木料和长所锯成的份数是144÷16＝
8、9，木料的宽所锯成的份数是48÷16＝3，木料的厚所锯成的份数是32÷16＝2，锯成正方体的块数是9×3×2=54（块）。答：正方体木块的棱长是16厘米，可以锯成54块。三、最大公约数和最小公倍数的应用例2一对啮合齿轮，一个有21个齿
