上海浦东新王牌 春季周末 等价转化.docx

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1、高三数学春季拓展第4讲化归与转化一、化归与转化思想概述化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。下面介绍一些常用的转化方法，及化归与转化思想解题的应用。化归与转化常遵循以下几个原则（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我

2、们运用熟知的知识、经验和问题来解决。（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。二、范例分析正与反的转化：有些数学问题，如果直接从正面入手

3、求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。如函数与反函数的有关问题，对立事件的概率、间接法求解排列组合问题例1：某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为。分析：至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：一次都未中，来求解略解：他四次射击未中1次的概率P1=0.14=0.14∴他至少射击击中目标1次的概率为1－P1=1－0.14=0.9999例2：求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=

4、m(x－3)垂直平分.分析：直接求解较为困难，事实上，问题可以转化为：在曲线y=x2存在关于直线y=m(x－3)对称的两点，求m的范围。略解：抛物线y=x2上存在两点（x1，x）和（x2，x）关于直线y=m(x－3)对称，则即消去x2得∴存在∵上述方程有解∴△=＞0∴＜0，从而m＜因此，原问题的解为｛m

5、m≥｝、一般与特殊的转化当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然，这种方法在选择题，填空题中非常适用。例3：设等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q=___

6、________.分析：由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q的值.如：成等差，求q的值.这样就避免了一般性的复杂运算.略解：∵∴(a1≠0)∴q=－2或q=0（舍去）例4：已知平面上的直线l的方向向量，点(0，0)和A(1,－2)在l上的射影分别为，若则λ为（）A．B．－C．2D．－2分析：直线l的斜率一定，但直线是变化的，又从选项来看，必为定值。可见直线l的变化不会影响的值。因此我们可取l为来求解的值。略解：设l:则可得∴即，=－2例5：设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=

7、QC，则四棱锥B—PAQC的体积为：A．VB．VC．VD．V分析：P、Q运动四棱锥B—PAQC是变化的，但从选项来看其体积是不变的，所以可以转化为特殊情况来解决略解：取P与A重合，Q与C重合的特殊情况、主与次的转化利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变量与主元的角色换位）常常可以简化问题的解决，先看下面两题。例6:已知函数其中是的的导函数。对满足的一切的值，都有求实数的取值范围；分析：在不等式中出现了两个字母：及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大

8、于0恒成立的问题。解：（Ⅰ）由题意令对，恒有，即∴即解得故时，对满足的一切的值，都有≤0对上恒成立，求实数a的取值范围.例7、对任何函数的值总大于0，则实数x的取值范围是：_______分析：对于例2：我们也可以转化为例1的形式只需视为关于a的函数，问题就可以转化为例1的情况：略解：令为关于a的一次函数，由图像知或x＜1或x＞3例8：设的实数，则的取值范围是：___________分析：把看作是关于的二次方程，则利用△≥0求解的范围。略解：把看作是关于的二次方程，因为的实数，所以方程有解。∴△=≥0∴｛x

9、x≤-2或x≥3｝、数与

10、形的转化。数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观图形相结合。可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求。o-2xy2例9：设对于任意实数,函数总有意义，求实数的取值范围。解法一：有意义，有，即在时总成立，设，即当时，总成立。依抛物线的特征