觉得数学应用题没意思，只是因为你外行

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1、觉得数学应用题没意思，只是因为你外行觉得数学应用题没意思，只是因为你外行觉得数学应用题没意思，只是因为你外行觉得数学应用题没意思，只是因为你外行从小到大，我们做过无数的数学应用题，大家普遍认为数学应用题没意思。有个相声曾专门调侃“水池蓄水”这道数学应用题，说把池子灌满，光开进水管就行了，现在两管同开，不是典型的浪费水资吗？但是，著名特级教师曹培英却说：“他不懂，这其实是一个简单的动态平衡模型。把它换一个说法，你就觉得有用了。”到底是怎么一回事呢？小学人教版的“烙饼问题”是一个经典例题。早餐要吃烙饼，爸爸、妈妈和我每人1张。家里的煎锅每次只能烙2张饼，2面都要烙，每面3分钟。问

2、：怎样才能尽快吃上饼？审题是落实核心素养的第一步，也就是要分清楚条和问题。就这道题说，每次只能烙2张饼的准确含义是——烙1张可以，最多烙2张。爸爸、妈妈和我各要1张，言下之意是要烙3张。问的是“尽快”，意味着不可以一张张烙。这样理解了条和问题后，学生就开始计算：1张2面，每面3分钟，一锅可以同时烙2张，烙完需6分钟。剩下1张单独烙，也是6分钟。所以，烙3张共需12分钟。当然会有学生质疑说，这不是最优方案，因为烙第三张饼的时候，锅的另一半是空着的。如果每次总能烙2张，别让锅空着应该是最省的。这就提出了一个猜想：3张也能不空。是这样吗？我们试一试：1第一步：第一第二张饼烙正面，3

3、分钟；2第二步：第一张饼烙反面，将第二张饼拿出，换第三张饼烙正面，3分钟；3第三步：第三张饼烙反面，第二张饼重新放进烙反面，3分钟。这样总共花费9分钟，时间最省。问题解答到这里似乎是解决了，但我在上海两次听都有学生提问：第二张饼烙了一面拿走，晾在那里会不会半生不熟？老师的回答大同小异，说这是数学抽象，一些细节可以忽略不计。这么回答是对的，因为数学建模的时候只抽取关键量，不会考虑所有量。但是，这并不能令学生信服，因为这是联系实际的模型，必须经得起实际的检验，否则学生就要怀疑问题的意义。其实，如果你有生活经验，这个问题是很好回答的：把暂时不烙的第二张饼叠在1号饼上面，不就保温了吗

4、?再接下，有的老师通过列表，让学生找到了一般的运算规律:3n（n是大于1的整数）。这已经不属于四年级下学期的学习范围了，他没有触及本题的真正核心。为什么偏偏要研究3张饼？首先，因为双数张饼正好可以一锅两个同时烙，不需要探究。而当我们知道了3张饼要烙多久后，烙张饼的时间就相当于：烙3张饼的时间+烙2张饼的时间，烙7张饼的时间就相当于：烙3张饼的时间+烙4张饼的时间……依此类推，自然也不需要探究了。继续拓展：如果将锅换得大一点，每次能烙3张，6跟9这些3的倍数就不用探究了，我们只需探究4张、张的情况。4张探究了以后，7、10、13、……4+3n张不用再探究了。张探究了以后，8、1

5、1、14、……+3n张不用再算了。至此，其实是在引导学生做进一步的抽象，并在此过程中，渗透进一个很重要的数学背景——同余类（余数相同可以分为一类）。也有一些老师不这样拓展，而用另一种思想启发学生：烙一张饼一定要6分钟吗？能不能优化烙一张饼的时间呢？他的潜台词是：数学解救不了的靠工具，比如现在市场上销售的都是双面烙饼铛，或者想办法让火更旺些。按照这样的思路，最快的方法就是买现成的饼吃，还要上吗？我认为，这是误入了“非数学问题”的歧途。其实，烙饼问题就是数学中典型的统筹规划模型，培养的是数学核心素养之一——建模。建模有以下几个步骤：建模准备，在烙饼问题中对应的是审题；模型假设，进

6、行猜想——烙三张饼锅也能不空；模型构建——学生进行探究；模型求解——得出结论；检验——从数学上检验9分钟最省，因为锅始终不空，从生活经验检验，一张饼烙了一面叠起，可以避免半生不熟。最后还有一个重要的环节——运用。烙饼问题在日常生活的广泛运用，正能够证明它作为模型的典型性和实用性。例如：3辆洒水车一起加水，加满一车要8分钟，现在只有2个水龙头，怎样安排才能让3辆车尽快一起开走？一种电脑小游戏玩一局要分钟，可以单人玩也可以双人玩，现在小东和爸爸妈妈一起玩，每人玩2局，怎么玩最省时间？四年级的孩子对这道题特别感兴趣，用连线的方式解答了出。你看，烙饼问题只是模型的载体，这里用不到，其

7、他地方总会用到。饱受批评的水池问题也是如此：一个水池，单开进水管60分钟满，单开排水管90分钟完。先开进水管20分钟，再两管齐开，多少分钟后注满？有个相声专门调侃这道题，说把池子灌满光开进水管就行了，现在两管同开，不是典型的浪费水资吗？他不懂，这其实是一个简单的动态平衡模型。我把它换一个说法，你就觉得有用了：一个展馆只进不出，60分钟人满为患。只出不进，90分钟满场的人可以走完。开馆前20分钟只有进没有出，20分钟后有进有出，问多少分钟后需停止售票？这个问题就有实际意义了，因为如果不进行人数控制，有可能