2021高考数学大一轮复习高考大题专项练二高考中的三角函数与解三角形理新人教A版.docx

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1、高考大题专项练二　高考中的三角函数与解三角形　高考大题专项练第4页　 1.在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-17.(1)求∠A;(2)求AC边上的高.解:(1)在△ABC中,∵cosB=-17,∴B∈π2,π,∴sinB=1-cos2B=437.由正弦定理得asinA=bsinB,即7sinA=8437,∴sinA=32.∵B∈π2,π,∴A∈0,π2,∴∠A=π3.(2)在△ABC中,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=32×-17+12×437=3314.如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D.∵sinC=hBC,∴h=BC

2、·sinC=7×3314=332,∴AC边上的高为332.2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA+3cosA=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解:(1)由已知可得tanA=-3,所以A=2π3.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos2π3,6即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得∠CAD=π2,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD·sinπ612AC·AD=1.又△ABC的面积为12×4×2s

3、in∠BAC=23,所以△ABD的面积为3.3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=a24,求角A的大小.(1)证明由正弦定理,得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB.于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0

4、12sin2B=sinBcosB.由sinB≠0,得sinC=cosB.又B,C∈(0,π),所以C=π2±B.当B+C=π2时,A=π2;当C-B=π2时,A=π4.综上,A=π2或A=π4.4.(2019全国Ⅰ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.6(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sinC.解:(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12.因为0°

5、(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得2sinA+sin(120°-C)=2sinC,即62+32cosC+12sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=-22.由于0°

6、sB+sinBcosA)=sinC,即2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.可得cosC=12,所以C=π3.(2)由已知,12absinC=332.6又C=π3,所以ab=6.由已知及余弦定理,得a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25,即a+b=5.所以△ABC的周长为5+7.6.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=22,求BC.解:(1)在△ABD中,由正弦定理得BDsin∠A=ABsin∠ADB.由题设知,5sin45°=2s

7、in∠ADB,所以sin∠ADB=25.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=25.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×22×25=25.所以BC=5.7.(2019河北沧州高三模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA-sinCb+c=sinB-sinCa.(1)求B;(2)若b=3,求2a-c的取值范围.解:(1)由题意及正弦定