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1、函数的概念一、映射如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这种对应叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B.二、一一映射如果f:A→B是集合A到集合B的映射,对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象,且B中的每一个元素都有原象,那么这种映射叫做一一映射.若a∈A,b∈B,且a和b对应,则称b是a的象,a是b的原象.三、函数设A,B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么称f:A→B为集合A到B的一个函数.变量x叫做自变量,x取值的集合A叫做函数的定义域;与x
2、的值对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式:表示函数的对应法则有解析法、列表法与图象法,其中解析法是最基本、最重要的方法,中学数学学习的函数基本上都能用解析法表示.四、函数的三要素1.对应法则若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数叫做分段函数.若一个函数的自变量又是另一个变量的函数:y=f(u),u=g(x),即y=f[g(x)],这种函数叫做复合函数.对应法则、定义域、值域是函数的三要素,其中起决定作用的是对应法则和定义域.2.定义域①自然型:指使函数的解析式有
3、意义的自变量x取值的集合(如:分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等);②限制型:指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学习中的重点,往往也是难点,有时这种限制比较隐蔽,容易出错;③实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x的实际意义.3.值域①配方法(将函数转化为二次函数);②判别式法(将函数转化为二次方程);③不等式法(运用不等式的各种性质);中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域:注:运用初等方法求函数的值域经常要对函数的解析式进行变换,但必须保证变换的等价性.否则可能引起所求值域的扩大或缩小.另外,求
4、函数的值域必须认真考察函数的定义域,如果定义域是闭区间,则先求得函数的最大值,最小值,得函数的值域.④函数法(运用有关函数的性质,或抓住函数的单调性、函数图象等).1.求下列函数的定义域:典型例题2.已知函数f(x)的定义域为[-,],求函数y=f(x2-x-)的定义域.1212123.已知函数f(x)的定义域是[a,b],且a+b>0,求下列函数的定义域:(1)f(x2);(2)g(x)=f(x)-f(-x);(3)h(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0).4.当k为何值时,函数y=lg(kx2+4kx+3)的定义域为R?又当k为何值时,值域为R?(,1)∪(1,)∪(
5、,2]321232[-5,-)∪(-,)∪(,5]232322值域为R时,定义域又如何?(1)y=+(3-2x)0;2x-x2lg(2x-1)(2)y=25-x2+lgcosx.[,0]∪[1,]1-521+523.(1):3.(2):[a,-a](a<0时);{0}(a=0时).(a>0时原式不定义函数)3.(3):[a+m,b-m](m<时);b-a2{}(m=时).b-a2a+b2(m>时,原式不定义函数)b-a24.当k为何值时,函数y=lg(kx2+4kx+3)的定义域为R?又当k为何值时,值域为R?0≤k<时,函数的定义域为R;34k≥时,函数的值域为R.3
6、4值域为R时,定义域又如何?值域为R时,定义域为(-∞,x1)∪(x2,+∞),其中,x1,x2为一元二次方程kx2+4kx+3=0的两根且x1≤x2.3.已知函数f(x)的定义域是[a,b],且a+b>0,求下列函数的定义域:(1)f(x2);(2)g(x)=f(x)-f(-x);(3)h(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0).[-b,b](a≤0时);[-b,-a]∪[a,b](a>0时).5.求函数y=loga(ax-k·2x)(a>0且a≠1)的定义域.解:要使函数有意义,必须ax-k·2x>0,得:()>k(a>0且a≠1).a2x(1)若k≤0,∵()>0,∴
7、x∈R;a2x③当a=2时,若k<1,则x∈R;若k≥1,则x不存在.综上所述:当k≤0或时,定义域为R;0000a>2a2(2)若k>0,①当a>2时,x>logk;a2②当00且,≠1),请把
