生物数学报告07091012成帆.doc

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1、生物数学报告理学院应数7107091012成帆题目：习题4.1：通过刻画如下具有潜伏期的SEIR框图，建立相应的数学模型，分析模型平衡态的存在性的阈值理论并给出疾病再生数R*解析表达式和隐含的生物意义。SEIRdEhEμdSβSIdIγIdR题目分析：有框图可知，这是具有潜伏期的SEIR模型，出生率为μ，死亡率为d，正常人通过与病人接触感染变为潜伏期患者，感染率为β，潜伏期患者中有h的人变为患者，患者中会有部分人复原变为携带抗体者，康复率为γ。于是可得相应的数学模型如下：令每一个方程右端等于0可求解得地方病平衡态为：及无病平衡态1,0,0,0我们容

2、易知道当且时，地方病平衡态不存在，因为I0和E0不可能小于0，于是推出基本再生数R*为则关于平衡态的稳定性我们有如下的阈值理论：若基本再生数R*小于等于1，则该模型的无病平衡态是全局渐近稳定的；若基本再生数R*大于1，则该模型的地方病平衡态是全局渐近稳定的。分析方式同课件4.4.1，由于模型的前三个方程中与免疫者的比例R无关，则模型可化为三维系统通过Jaccobi矩阵可以判定其在R*大于等于0和R*小于0情况下平衡态的稳定性，类似的，由矩阵可构造出相应的Lyapunov函数，由LaSalle原理可类似得到平衡态的全局渐进稳定性。下面探讨R*的生物意

3、义：在SIR模型中，基本再生数R*的生物意义为单位时间内被患者感染的健康人数；在本SEIR模型中，由于加入了潜伏期E，需要对R*的生物意义重新进行探讨。由模型知，由于潜伏期患者并不能对健康人群进行传染，而但潜伏期患者并不一定会发病，那么我们可以认为：该SEIR模型下基本再生数的生物意义为单位时间内被患者感染的健康人数中最终会发病的部分，即单位时间内被感染到潜伏期的患者中最终会发病的那些，相当于SIR模型下的再生数乘以潜伏期的发病率即可，只不过单位时间内被患者感染的健康人数比SIR模型下更加复杂而已。小结:SIER模型是在SIR模型基础上加入了潜伏期

4、患者这一概念，从而我们可以从SIR模型的推导办法来推理出SIER模型下的平衡态，平衡态稳定性，阈值，以及基本再生数，和基本再生数的生物学意义。