【走向高考】（2013春季发行）高三数学第一轮总复习 3-4定积分与微积分基本定理 理 新人教A版.doc

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1、3-4定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是(　　)A．S＝(x2－x)dx　　　　B．S＝(x－x2)dxC．S＝(y2－y)dyD．S＝(y－)dy[答案]　B[分析]　根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解析]　两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝(x－x2)dx.2．如图，阴影部分面积等于(　　)A．2B．2－C.D.[

2、答案]　C[解析]　图中阴影部分面积为S＝(3－x2－2x)dx＝(3x－x3－x2)

3、＝.3.dx＝(　　)A．4πB．2πC．πD.[答案]　C[解析]　令y＝，则x2＋y2＝4(y9≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是(　　)A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．

4、t0时刻后，乙车在甲车前面[答案]　A[解析]　判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t9轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t

5、1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x，y)

6、－≤x≤，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是(　　)A.B.C.－1D.[答案]　D[解析]　平面区域Ω是矩形区域，其面积是，在这个区6．(sinx－cosx)dx的值是(　　)A．0　　　　B.　　　C．2　　　　D．－2[答案]　D[解析]　(sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)＝－2.7．(2010·惠

7、州模拟)(2－

8、1－x

9、)dx＝________.[答案]　3[解析]　∵y＝，∴(2－

10、1－x

11、)dx＝(1＋x)dx＋(3－x)dx9＝(x＋x2)

12、＋(3x－x2)

13、＝＋＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.[答案]　－1或[解析]　∵－1f(x)dx＝－1(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)

14、＝4，－1f(x)dx＝2f(a)，∴6a2＋4a＋2＝4，∴a＝－1或.9．已知a＝∫0(sinx＋cosx)dx，则二项式(a－)6的展

15、开式中含x2项的系数是________．[答案]　－192[解析]　由已知得a＝∫0(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)

16、0＝(sin－cos)－(sin0－cos0)＝2，(2－)6的展开式中第r＋1项是Tr＋1＝(－1)r×C×26－r×x3－r，令3－r＝2得，r＝1，故其系数为(－1)1×C×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y＝x2相交于A、B两点，线段AB与抛物线所围成图形的面积恒等于，求线段AB的中点P的轨迹方程．[解析]　设直线与抛物线的两个交点分别为A(a，a2)，B(b，b2)，不妨设a

17、直线AB的方程为y－a2＝(x－a)，即y＝(a＋b)x－ab.则直线AB与抛物线围成图形的面积为S＝[(a＋b)x－ab－x2]dx＝(x2－abx－)

18、＝(b－a)3，∴(b－a)3＝，解得b－a＝2.设线段AB的中点坐标为P(x，y)，其中将b－a＝2代入得消去a得y＝x2＋1.9∴线段AB的中点P的轨迹方程为y＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·郑州二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝4xdx，则公比q的值为(　　)A．1B．－C．1或－D．－1或－[答案]　C[解析]　因为S3＝4xdx＝2x2

19、＝18，所

20、以＋＋6＝18，化简得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－，故选C.12．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx＋1，则lnxdx＝(　　)A．1B．eC．e－1D．e＋1[答案]　A[解析]