“函数的单调性”教学设计.doc

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1、“函数的单调性”教学设计一．教学目标 本节课要求学生理解函数在某区间上单调的意义，掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）． 1．能够以具体的例子说明某函数在某区间上是增函数还是减函数； 2．能够举例，并通过绘制图形说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质； 3．对于一个具体的函数，能够用单调性的定义，证明它是增函数还是减函数：在区间上任意取x1，x2，设x1＜x2，作差f（x2）－f（x1），然后判断这个

2、差的正、负，从而证明函数在该区间上是增函数还是减函数．二．教学基本流程　　　　　 三．教学过程设计 1．用好节前语，引出课题 函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就掌握了相应事物的变化规律，因此研究函数的性质十分必要．在事物变化过程，保持不变的特征就是这个事物的性质． 问题1观察图1中各个函数的图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？         　　　　　　                          图1设计意图：从形到数，借助对函数图象的观察

3、，想象相应的函数的性质．引导单调函数的“直观定义”． 可能的回答是，第一个图中的函数图象，自左而右是上升的；第二个图中的函数图象，自左而右，有时是上升的有时是下降的；第三个图中的函数图象，自左而右也是有时上升有时下降的，而且是关于y轴对称的． 师：对于运动变化问题，最基本的就是描述变化的快与慢、增与减……相应的，函数的特征就包含：函数的增与减，我们把函数的这种性质称为“单调性”．教师结合上述直观认识，写出课题：函数的单调性．2．函数单调性的“直观定义”结合上述直观认识，给出单调函数的“直观定义”：设函数的

4、定义域为I，区间DI．在区间D上，若函数的图像（从左至右看）总是上升的，则称函数在区间D上是增函数，区间D称为函数的单调增区间；在区间D上，若函数的图像（从左至右看）总是下降的，则称函数在区间D上是减函数，区间D称为函数的单调减区间．例1（教科书第29页例1）图2是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数？ 设计意图：用“直观定义”判断单调性，并强调单调性的“局部性”．　　　　　　　　　                 

5、                  图23．函数单调性的“描述性定义”仅从图象上观察出函数的性质，只是得到了“定性刻画”，对函数的变化情况只是“大致了解”，显然不够，我们希望“量化”，这样才能准确． 教师借助几何画板作出函数y＝x2的图像，并在函数y＝x2的图像上任画一点P，测量出其横坐标与纵坐标，制作表格．拖动点P，表格自动增行． 问题2 根据函数的定义，对于自变量x的每一个确定的值，变量y有唯一确定的值与它对应．那么，当一个函数在某一区间上是单调增（或单调减）的时候，相应的，自变量的值与对应的函数值的

6、变化规律是怎样的呢？ 设计意图：对函数的单调性的刻画，从图形的刻画过渡到数量关系，即从图形语言的表述过渡到自然语言的表述． 由上面的表格可见，点P的纵坐标（即函数值）y的变化规律：在区间（－∞，0上，随着自变量x增大，函数值y减少；在区间0，＋∞）上，随着自变量x增大，函数值y也增大． 由此得到单调函数的“描述性定义”： 设函数的定义域为I，区间DI．在区间D上，若随着自变量x增大，函数值y也增大，则称函数在区间D上是增函数；在区间D上，若随着自变量x增大，函数值y反而减小，则称函数在区间D上是减函数． 

7、4．从“定性定义”过渡到“定量定义” 虽然完成了对函数单调性的从图形语言表述到自然语言的表述，但这样的描述还不是“量化”的，所以，要把定性的数量变化关系转化为定量的数量变化关系．这是本课的重点，也是难点所在． 从上面的结论，可以看到，函数在区间D上是增函数，那么随着自变量x增大，函数值y也增大． 问题3 如果对于区间（a，b）上的任意x有f（x）＞f（a），则函数f（x）在区间（a，b）上单调增．这个说法对吗？请你说明理由（举例或者画图）． 设计意图：继续企图通过对描述性定义的辨析，逐渐引出定量定义．必须

8、是两个变化的量的比较． 问题4 函数f（x）在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当a＜x1＜x2＜…＜…＜b时，有f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜…＜…f（b），能不能说明它在（a，b）单调增？请你说明理由（举例或者画图）． 设计意图：本问题较为贴近描述性定义，但这是对描述性定义的误解．通过对函数描述性定义的辨析，逐渐使得同学们认识到要使函数f（x）在区间（a，b）上具有单调增的特征，必须允许自变量x在区间（a，b）上“