高考数学复习-三角函数模型的简单应用提高(2).doc

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1、三角函数模型的简单应用【学习目标】1.熟练掌握三角函数的性质，会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题；2．利用三角形建立数学模型，解决实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．【要点梳理】要点一：三角函数模型的建立程序收集数据画散点图选择函数模型检验求函数模型用函数模型解决实际问题要点二：解答三角函数应用题的一般步骤解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、结论．（1）审题三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什

2、么，从中提炼出相应的数学问题．（2）建模根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式．（3）解模利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结果．（4）结论将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又要符合实际背景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判．要点诠释：实际问题的背景往往比较复杂，而

3、且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．【典型例题】类型一：三角函数周期性的应用例1．（2015春福建安溪县期末）某港口的水深y（米）时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数y=Asinω+b（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以完全的进出该港？【思路点拨】（1）由表中数

4、据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，求出b和A；再借助于相隔9小时达到一次最大值说明周期为12求出ω即可求出y=f（t）的解析式；（2）把船舶安全转化为深度f（t）≥11.5，即；再解关于t的三角不等式即可求出船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港．【答案】（1）（0≤t≤24）；（2）（1∶00～5∶00），（13∶00～17∶00）【解析】（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，∴，且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12，因此，，故（0≤t≤24）（2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即∴，解得：12k+

5、1≤t≤5+12k，k∈Z又0≤t≤24当k=0时，1≤t≤5；当k=1时，13≤t≤17；故船舶安全进港的时间段为（1∶00～5∶00），（13∶00～17∶00）．【总结升华】本题主要考查三角函数知识的应用问题．解决本题的关键在于求出函数解析式．求三角函数的解析式注意由题中条件求出周期，最大最小值等．举一反三：【变式1】如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP．为保护参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°．求A

6、，ω的值和M，P两点间的距离．【答案】5【解析】依题意，有，，又，∴．∴，x∈[0，4]．∴当x=4时，．∴M（4，3）．又P（8，0），∴（km）．类型二：三角函数模型在天气中的应用例2.下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表：（时间近似到0.1小时）日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序号x15980117126172225263298355白昼时间y（小时）5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4（1）以日期在365天中的位置序

7、号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标（如下图）中画出这些数据的散点图；（2）试选用一个形如的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系；（注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算）（3）用（2）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时？【思路点拨】先作散点图，结合图象求出中的，最后利用函数模型，解不等式可得．【答案】（1）略（2）（1≤x≤365，x∈N*）（3）121天【解析】（1）如图所示．（2）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为，由题中图形知函数的最大值为19.4，最小

8、值为5.4，即ymax=19.4，ymin=5.4，由19.4－5.4=14，得A=7；由19.4+5.4=24.8，得t=12.4．又