2012届高考数学一轮复习定时检测 3.4导数的综合应用（带详细解析） 理 新人教A版.doc

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1、§3.4　导数的综合应用一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·广州调研)若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)A．(－2,2)B．[－2,2]C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)解析　本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系．由于函数f(x)是连续的，故只需两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x＝±1，只需f(－1)·f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)．答案　A2．(2010·济宁联考)若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在

2、区间(0,2)上恰好有(　　)A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点解析　解答本题要结合二分法和函数的单调性判断．由已知得：f′(x)＝x(x－2a)，由于a>2，故当02时f(0)f(2)＝－4a<0，故据二分法及单调性可知函数在区间(0,2)上有且只有一个零点．答案　B3．(2010·湛江调研)已知函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是(　　)A．0

3、上为减函数，故f′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，故lna≥1，a≥e，选D.答案　D4．(2010·黄山模拟)已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是(　　)A．(－1,0)B．(2，＋∞)C．(0,1)D．(－∞，－3)解析　由f(x)在x＝a处取得极大值可知，当x0，当x>a时，f′(x)<0，即a(x＋1)(x－a)>0的解集为x

4、的解集为x>a，通过对这两个不等式的解集讨论可知－10得x>34用心爱心专心或x<1，由f′(x)<0得1

5、象与x轴有两个交点，即方程x3－6x2＋9x－4＝0有两个实根．故选C.答案　C6．(2009·绍兴模拟)已知对任意x∈R，恒有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时有(　　)A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0解析　由f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．又x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，由奇、偶函数的性质知，当x<0时，f

6、′(x)>0，g′(x)<0.答案　B二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2010·东莞一模)若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.解析　f′(x)＝＝.因为f(x)在1处取极值，所以1是f′(x)＝0的根，将x＝1代入得a＝3.答案　38．(2010·舟山调研)已知函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．解析　∵f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，∴由f′(x)>0得：x>a或x<－a，由f′(x)<0得：－a

7、x＝－a时，f(x)有极大值．由题意得：解得a>.答案　9．(2009·湖州模拟)设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．解析　若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x>0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4.当x<0，即x∈[－1,0)时，同理a≤－.g(x)在区间[－1,0)上单调递增，∴g(x)m

8、in＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上可知a＝4.答案　4三、解答题(共40分)4用心爱心专心10．(13分)(2010·菏泽模拟)已知函数f(x)＝