§10 怎计算电场强度.doc

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1、§10　怎样计算电场强度？静电场的电场强度计算，一般有三种方法：1、从点电荷场强公式出发进行叠加；2、用高斯定理求解；3、从电场强度和电势的微分关系求解。这三种方法各有优点：从点电荷的场强公式出发，通过叠加原理来计算，在原则上，是没有不可应用的。但是，叠加是矢量的叠加，因此计算往往十分麻烦。用高斯定理求电场强度，方法简单，演算方便，它有较大的局限性，只适宜于某些电荷对称分布的场强的计算，或者场强不是对称的，但为几种能用高斯定理求解折场的合成。用场电势的微分关系求场强也有普遍性，而且叠加是代数叠加。这一种方法也简便，不过还比不上高斯

2、定理。所以求场强时，一般首先考虑是琐能用高斯定理，其次考虑是否能用场强与电势的微分关系去求。下面分别加以讨论。一、从点电荷的场强公式出发通过叠加原理进行计算点电荷的场强公式：当电荷连续分布时：式中　　－电荷的线密度；　　　　　－电荷的面密度；　　　　　－电荷的体密度。式（2）、（3）、（4）中，积分应普遍一切有电荷分布的地方。计算时，还必须注意这是矢量和。1、善于积分变量的统一问题如果积分上包含有几个相关的变量，只有将它们用同一变量来表示，积分才能积得结果。这在应用点电荷的场强公式求带电体的场强时，或者应用毕－沙－拉定律求时，常常

3、遇到。因此，要积分必须先解决积分变量的统一问题。yxdEydExdEθr图2－10－1积分上包含有几个变量，相互之间存在一定的关系。因此，任一变量都可选作自变量，而将其他变量用该变量来统一表示。必须指出，不但可以将积分号中包含的变量选作自变量，而且也可选择不包含在积分号中但与积分号中的变量都有关的量作为自变量，要根据具体情况而定。现以图2－10－1所示均匀带电直线的场强计算为例来讨论积分变量的统一问题。由图可知：上述三个变量中，共有三个相关变量：θ、、r。为了把积分计算出来，必须把三个变量统一用某一个变量，可以θ、、r中的任一个，

4、或者用它的相关变量来表示。究竟选哪　一个好呢？如果选择θ为自变量，则应把、r都化作θ的函数来表示。由图示几何关系可得：于是得：好可把或r作为自变量，把其他变量用或r统一来表示。实用中，一般用θ作为自变量是比较方便的。1、基本例题对于已知电荷线分布而求场强的习题，应该掌握其基本题。单位圆弧的弧元，电荷线密度，在圆心产生的场强为：当。指向圆心；当，背离圆心。如均匀带电圆弧所张的圆心角为，则在圆心处所产生的场强为：的方向，沿着径向，当时指向圆心，反之，背离圆心。一段电荷的线密度为，长为的直线，求其延长线上离开直线近端的距离为a的P点之场

5、强（图2－10－2）。该点的场强为：负号表示的方向与x的方轴的正方向相反。电荷的线密度为，长为的直线，线外有一点P，它与直线的距离为a。P点的场强可由式（5）、（6）求得。掌握了上述三个基本例题后，遇到以它们为基础的组合题，应用叠加原理就可以方便地算出结果。2、组合题例［例1］一细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿着其上半部均匀地分布着电荷有＋Q，沿其下半均匀地分布着电荷－Q（图2－10－3）。求半圆中心O处的电场强度。［解法一］上半部圆弧电荷在O处产生的场强如应用式（7）得：方向如图。下半部圆弧电荷在O点产生的场强，应用式（7）得

6、：与的合矢量指向x的正方向，其值为：［解法二］在上半部圆弧上取一弧元，其上电荷为，故有：积分后得：对下半部圆弧而言有：积分以后得：因此有：［例2］一半径为R、电荷线密度为的细圆环，在环上有一个的的小缺口。求圆环中心O处的电场强度。（图2－10－4）［分析］有小缺口的、细的带电圆环，可以看成为两个对称的小半圆环和一个长的弧段合成。两个对称的小半圆环在O点产生的场强等值反向。故而抵消了。于是剩下长的弧段电荷，而它在O点的场强用点电荷场强公式求得：场强的方向从荷电弧元指向圆心。还可将有小缺口的带电圆环，看成一个完整的电荷线密度为的圆环和

7、一段长为荷电荷密度为的小弧段叠加而成。这样一来，又变成了一个带负电的点电荷场强计算了。当然还可将环上各元段在O点场强加以叠加计算而得。显然这太麻烦了。由此可见，将复杂形状的带电体看成为简单形状的带电体叠加以及对称性的分析，这二点，在场强计算中是十分重要的。［例3］一形状如图1－10－5所示的绝缘细线，其上均匀分布着正电荷。已知电荷的线密度为，两段直线长均为a，半圆环的半径为R，试求环心处的电场强度。［分析］由于左右两段荷电直线对O点的场强等值反向，因此互相抵消了。于是只留下半圆环了。［解］荷电半圆在O点的场强，根据（7）式得：方向

8、如图所示。如果图2－10－5a改为图2－10－5b，则O点的场强如何计算？请读者自习。二、高斯定理真空中的高斯定理为：电荷连续分布时，用或或代。该式表；电场强度穿过封闭曲面（俗称高斯面），S的通量是由高斯面中所包围的电量代数和决定的。高斯定理说的是