向心加速度公式的几种推导.doc

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1、向心加速度公式的几种推导一、运用速度增量法推导如图，表示速度（率）v作匀速圆周运动的物体，在时间Δt内由A点运动到B点。在这运动过程中，由于Δt非常小，可以看成是过A点切线方向速度为v的匀速直线运动和在AO方向初速度为零的匀加速直线运动的合运动。物体过A点沿切线方向的速度为v，在AO方向上的初速度v0=0，当经过很短时间Δt内，物体由A点运动到B点，线速度大小仍是v，但方向改变了，由于方向的改变，使物体在AO方向获得了分速度vt=vsin。这时物体在AO方向速度的增量应是：ΔV=Vt-v0=vsin。在这段时间内，物体沿切线

2、方向匀速运动走过的距离可看成是由E到B，即EB=V·Δt由此得到：又根据加速度的定义式可得：二、运用位移合成法推导1、如图（1）表示以速率v作匀速圆周运动的物体经过很短时间Δt，由A点运动到B点，于是有Error!Nobookmarknamegiven.AB=VΔt当Δt小到某种程度，即AB弦与AB弧几乎重合，则有：AB弦=AB弧=vΔt如果物体位于A点时，力的作用消失，则物体将沿切线方向作匀速运动，在Δt时间内经过位移vΔt。但实际上物体在Δt时间内沿圆周运动到了B点，这是由于物体还受到向心力的作用，加速离开了切线，其位移

3、为AF，它和过A点切线方向的位移vΔt合成起来，使物体由A移动到B。由于时间Δt很短，向心力可近似看成在过A点的半径方向，从图中可以看出：由于：ΔABC∽ΔABF所以于是将式代入此式并注意AC=2R所以上式中v、R都是常量，此时表明位移AF与时间Δt的平方成正比，符合匀加速直线运动的规律。与初速度为零的匀加速直线运动的位移公式相比较，可得出匀速圆周运动的向心加速度公式为：1、图（2）表示物体以速率v作匀速圆周运动的情形，在很短时间Δt内由A点运动到B点，与上题思考方法不同的是，现在把该运动过程看成是同时参与两个分运动的合运动

4、。一个是沿切线方向上的匀速直线运动，其速度就是v，在时间Δt内物体由A点运动到C点，则①另一个是在向心力作用下沿直径BD方向做初速度为零，加速度为a的匀加速运动，在相同的时间Δt内，物体由C运动到B，则由几何学中圆外同一点所做切割线与切线的关系得：将两式代入式得：化简后得：这就是向心加速度。一、运用速度位移公式法推导如图表示以速率v做匀速圆周运动的物体，在极短时间Δt内由A点移动到B点。在这段运动过程中，仍看成是过A点沿切线方向速度为v的匀速直线运动和在AO方向初速度为零的匀加速直线运动的合运动，与上述方法二、1不同的是在A

5、O方向的加速运动，可应用速度与位移的关系式：则从右示图中可看出：而所以而由上述“速度增量推法一”知：所以当Δt→0时，θ→0，就有sinθ→0，→所以，一、运用矢端轨迹法推导如图所示速度的矢端轨迹曲线，图（1）表示一个图形路径，在它上面画出相等时间间隔里的一系列速度矢量，它们大小相等，方向不同；图（2）表示从共同原点o画出这些速度矢量，因为速度矢量大小不变，可使速度矢量端点在半径为v，周长为2派v的圆上绕行一周，我们看到，速度的相继变化Δv都有相同长度，而方向彼此不同。以半径为R作匀速圆周运动的物体，在一个周期内，绕圆运动一

6、周的距离是vT=2派R根据同样的思路，可求得速度矢端以v为半径，绕圆一周，则有：aT=2派V因为所以这种方法比较新颖，这是英国数学家哈密根于1835年提出的，他把求某一曲线运动的加速度问题化为求另一曲线运动的速度，而这速度的求得却方便得多。但笔者通过教学实践或感觉到，由于学生缺乏速度矢端轨迹的相关知识，领会起来比较困难，因此不宜将此法介绍给学生，但可供老师教学时参考。利用速度矢端轨迹，还可以根据弧度制的定义推导出向心加速度的公式。如图示，当圆心角很小时所对弧长近似等于弦长，这样，当经历很短时间Δt时，速度矢量的增量Δv几乎与

7、弧长重合，根据弧度制定义：Δα=≈两边除以Δt得：当Δt→0时，则有：因为所以五、高中物理教材中的推导方法如图示ΔOAB∽ΔBCD则有对应边成比例，即将上式两边同除以Δt，而Δt很小而，所以