2008年考研数学一真题及答案.doc

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1、2008年考研数学一真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1)设函数,则的零点个数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】B。【解析】且，则是唯一的零点综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数(2)函数在点处的梯度等于(A)(B)(C)(D)【答案】A。【解析】所以综上所述，本题正确答案是A。【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度(1)在下列微分方程中，以为通解的是(A)(B)(C)(D)【答案】D。【解析】由通解表达式可知

2、其特征根为可见其对应特征方程为故对应微分方程为综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程(2)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是(A)若收敛，则收敛(B)若单调，则收敛(C)若收敛，则收敛(D)若单调，则收敛【答案】B。【解析】【方法一】由于单调，单调有界，则数列单调有界，根据单调有界准则知数列收敛。【方法二】排除法：若取,,则显然单调，收敛，但，显然不收敛，排除A。若取,显然收敛且单调，但不收敛，排除C和D。综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、

3、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则(1)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，若,则(A)不可逆，不可逆(B)不可逆，可逆(C)可逆，可逆(D)可逆，不可逆【答案】C。【解析】因为所以可知可逆，可逆综上所述，本题正确答案是C。【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件(1)设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，则的正特征值的个数为(A)(B)1(C)2(D)3【答案】B。【解析】所给图形为双叶双曲线，标准方程为二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是的特征值，

4、可知的正特征值的个数为1综上所述，本题正确答案是B。【考点】线性代数—二次型—次型的标准形和规范形(2)设随机变量独立同分布，且的分布函数为,则的分布函数为(A)(B)(C)(D)【答案】A。【解析】综上所述，本题正确答案是A。【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—随机变量的独立性和不相关性，两个及两个以上随机变量简单函数的分布(1)设随机变量,且相关系数,则(A)(B)(C)(D)【答案】D。【解析】由相关系数的性质可知：如果则必有可得已知,所以,得又而所以即综上所述，本题正确答案是D。【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机

5、变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）(1)微分方程满足条件的解是。【答案】。【解析】分离变量得,l两边积分有利用条件，，解得综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学—常微分方程—变量可分离的微分方程(2)曲线在点处的切线方程是。【答案】【解析】先求曲线在点处的斜率等式两端对求导得在上式中，将代入可得所以曲线在该点处的切线方程为即综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学—一元函数微分学—导数的几何意义和物理意义(1)已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为。【答案】。【解析】由题设

6、可知，幂级数在处收敛，在处发散,即时，幂级数收敛。对于幂级数，则收敛区间为又幂级数在处收敛，在处发散，所以对于幂级数收敛域为。综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域(2)设曲面是的上侧，则。【答案】。【解析】补曲面,取下侧，记则综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用，两类曲面积分的概念、性质及计算(1)设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，，则的非零特征值为。【答案】1。【解析】【方法一】定义法：由可得矩阵的特征值为，因

7、此的非零特征值为。【方法二】矩阵相似：可知，的特征值易得为，所以可得矩阵的特征值为，因此的非零特征值为。综上所述，本题正确答案是。【考点】线性代数—矩阵的特征值和特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，相似变换、相似矩阵的概念及性质(1)设随机变量服从参数为1的泊松分布，则。【答案】【解析】由已知，有,所以所以综上所述，本题正确答案是。【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—一维随机变量及函数的数字特征三、解答题：小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(2)（本题满分9分）求极限【解析】【方法一】（等价无穷小代换）（洛

8、必达法则）（）(等价无穷小代换)【方法二】（等价无穷小代换）（变量代换）（洛必达法则）（等价无穷小代换）【方法三】由泰勒公