2012年江西省研究生数学建模竞赛1题.doc

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1、双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计采用钢筋混凝土双曲抛物面(马鞍面)薄壳作为屋盖,具有利于排水、防止渗漏、减轻自重、节约材料、受力性能较好、刚度较大、造型优美等优点,可以用于厂房、商场、影剧院等民用建筑.下面是一个单块双曲抛物面薄壳屋盖及其制作过程的大致的示意图其数学表示由下面两个曲面和以及平面围成的空间区域构成.其中的参数,例如,可以是把直径为6mm(或5mm)预应力钢筋沿中断面的抛物线的临近处从原点(0,0,0)往左右两边沿马鞍面的两族直母线配筋,然后再浇注混凝土或树脂.示意图见图1.注意:做本题时有一些工程术语我们无需详细了解.图1马鞍面薄壳配筋示意图a)配筋特征图;b

2、)预应力钢筋投影在x–y平面上的布置图;c)预应力钢筋布置侧面图.图中,1.几何轴线;2.预应力钢筋;3.受压钢筋;4.钢筋网;5.构造钢筋.:预应力钢筋分布宽度;:通过原点的直母线位置.图2张拉台座及胎模示意图1.钢横梁(锚固面);2.两端混凝土边梁;3.中间混凝土边梁;4.边梁之间的联接法兰;5.边梁联接处锚固在地里;6.角钢拉条;7.素混凝土垫层;8.预应力钢筋图3马鞍面薄壳作为厂房屋盖的示意图本题用到的参数、含义以及数值举例：为板宽之半,称为翼缘宽度;.为屋盖长度之半,称为挑檐长度;.为屋盖的垂直厚度,.预应力钢筋的直径为.1.就上述单个的双曲抛物面薄壳屋盖的配筋问题

3、，用数学建模的方法解决以下问题：1.1.把预应力钢筋理想化为一维的直线.利用双曲抛物面是直纹面的特点,把预应力钢筋安置在两族直母线处,即在跨中端面处抛物线上的点处安放两族直母线钢筋.并固定(锚固)在过原点的直母线与平面()相交的点处与该直母线垂直的锚固面上.请回答:a.能安排多少根过点的直母线钢筋.写出这些空间直线的方程,并图示之.b.写出锚固面的方程,并写出直母线和锚固面的交点的表示式.c.求出直母线之间的交点的表示式.８d.求出直母线和锚固面的法线之间的夹角,以便在锚固面上适当打孔以固定直母线钢筋.e.根据前面的数据以及,具体计算a–d.f.编制一个可以包括不等距安置直母

4、线钢筋的通用程序(软件).1.2如果圆柱形预应力钢筋不能简化为直线,请回答a.圆柱形预应力钢筋的中心轴线应该安置在临近的哪些点处.写出这些中心轴线的方程,并图示之.b.写出这些中心轴线和锚固面的交点的表示式.c.要求这些圆柱形预应力钢筋不能相交.它们的中心轴线在x-y平面上的垂直投影是可以相交的,写出交点的表示式.计算沿这些交点垂直方向的两根圆柱形预应力钢筋之间的距离,要尽可能小(最好为零).d.编制一个通用的程序(软件).2.双曲抛物面薄壳屋盖的造型设计.由于制作技术的飞速发展,我们可以暂且不考虑制作问题.请利用几种双曲抛物面的切割部分作为元素组合成一种实用、美观的屋盖造型

5、.写出它们的方程,并图示之.如果可能,请说明它们可以用在什么地方.